16.10.2025 — ВСОШ СИРИУС Школьный этап по Математике: задания и ответы для 4-й группы
Авторские решения к этой работе доступны для покупки на нашем сайте:
Группа №4 включает регионы: Алтайский край (22), Амурская область (28), Еврейская автономная область (79), Забайкальский край (75), Иркутская область (38), Камчатский край (41), Кемеровская область — Кузбасс (42), Красноярский край (24), Магаданская область (49), Новосибирская область (54), Приморский край (25), Республика Алтай (04), Республика Бурятия (03), Республика Саха (Якутия) (14), Республика Тыва (17), Республика Хакасия (19), Сахалинская область (65), Томская область (70), Хабаровский край (27), Чукотский автономный округ (87)
Рассмотрим задания и ответы по Математике для 7–11 классов:
Навигация
10 класс
Задание 1. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 750? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Получить все ответы
1.2. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 735? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
1.3. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 525? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
1.4. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 1050? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Получить все ответы
Задание 2. В ряд лежат 28 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых четырёх подряд идущих шариков не менее трёх красных, а среди любых пяти — не менее одного синего. Сколько синих шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
2.2. В ряд лежат 35 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых семи подряд идущих шариков не менее пяти красных, а среди любых четырёх — не менее одного синего. Сколько синих шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Получить все ответы
2.3. В ряд лежат 30 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых трёх подряд идущих шариков не менее двух красных, а среди любых семи — не менее двух синих. Сколько красных шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
2.4. В ряд лежат 25 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых пяти подряд идущих шариков не менее трёх красных, а среди любых шести — не менее двух синих. Сколько красных шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Задание 3. В трапеции ABCD точки P и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ∠BAD = 33°, ∠CDA = 57°. Ответ выразите в градусах.
→ Получить все ответы
3.2. В трапеции ABCD точки P и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ∠BAD = 33°, ∠CDA = 57°. Ответ выразите в градусах.
3.3. В трапеции ABCD точки P и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ∠BAD = 36°, ∠CDA = 54°. Ответ выразите в градусах.
3.4. В трапеции ABCD точки P и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ∠BAD = 31°, ∠CDA = 59°. Ответ выразите в градусах.
Задание 4. Последовательность чисел (aₙ) определяется следующим образом: a₁ = 2, a₂ = 12/13, aₙ = (aₙ₋₂ · aₙ₋₁) / (2aₙ₋₂ — aₙ₋₁) для всех n = 3, 4, … Запишите значение a₅₀₀ в виде несократимой дроби.
→ Получить все ответы
4.2. Последовательность чисел (aₙ) определяется следующим образом: a₁ = 1, a₂ = 3/7, aₙ = (aₙ₋₂ · aₙ₋₁) / (2aₙ₋₂ — aₙ₋₁) для всех n = 3, 4, … Запишите значение a₂₀₀ в виде несократимой дроби.
4.3. Последовательность чисел (aₙ) определяется следующим образом: a₁ = 2, a₂ = 10/11, aₙ = (aₙ₋₂ · aₙ₋₁) / (2aₙ₋₂ — aₙ₋₁) для всех n = 3, 4, … Запишите значение a₄₀₀ в виде несократимой дроби.
4.4. Последовательность чисел (aₙ) определяется следующим образом: a₁ = 1, a₂ = 4/9, aₙ = (aₙ₋₂ · aₙ₋₁) / (2aₙ₋₂ — aₙ₋₁) для всех n = 3, 4, … Запишите значение a₃₀₀ в виде несократимой дроби.
Задание 5. График квадратичной функции f(x) = ax² + bx + c при a > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 5, 12 и 13. Найдите c. Найдите f(3) + f(-3).
→ Получить все ответы
5.2. График квадратичной функции f(x) = ax² + bx + c при a > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 6, 8 и 10. Найдите c. Найдите f(2) + f(-2).
5.3. График квадратичной функции f(x) = ax² + bx + c при a > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 12, 10 и 20. Найдите c. Найдите f(4) + f(-4).
5.4. График квадратичной функции f(x) = ax² + bx + c при a > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 9, 12 и 15. Найдите c. Найдите f(1) + f(-1).
Задание 6. Назовём натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcdef – ab – cd – ef для некоторого шестизначного числа abcdef. Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 400000? Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
→ Получить все ответы
6.2. Назовём натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcdef – ab – cd – ef для некоторого шестизначного числа abcdef. Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 500000? Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
6.3. Назовём натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcdef – ab – cd – ef для некоторого шестизначного числа abcdef. Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 700000? Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
6.4. Назовём натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcdef – ab – cd – ef для некоторого шестизначного числа abcdef. Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 600000? Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
Задание 7. Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив n ≤ 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью S рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1%, второй — 2%, …, n-й — n%, после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться S, если существует единственное n, при котором предмет стоимостью S рублей окажется бесплатным?
→ Получить все ответы
7.2. Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив n ≤ 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью S рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1%, второй — 2%, …, n-й — n%, после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться S, если существует единственное n, при котором предмет стоимостью S рублей окажется бесплатным? Выберите все подходящие варианты:
7.3. Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив n ≤ 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью S рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1%, второй — 2%, …, n-й — n%, после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться S, если существует единственное n, при котором предмет стоимостью S рублей окажется бесплатным? Выберите все подходящие варианты:
7.4. Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив n ≤ 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью S рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1%, второй — 2%, …, n-й — n%, после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться S, если существует единственное n, при котором предмет стоимостью S рублей окажется бесплатным? Выберите все подходящие варианты:
→ Получить все ответы
Задание 8. Окружности ω₁ и ω₂ имеют радиус 3 каждая, а расстояние между их центрами равно 2. Окружность ω₃ — это окружность наибольшего радиуса, касающаяся внутренним образом ω₁ и ω₂ и лежащая внутри этих окружностей. Окружность ω₄ касается внутренним образом ω₁ и ω₂ и внешним ω₃. Найдите радиус окружности ω₄.
→ Получить все ответы
8.2. Окружности ω₁ и ω₂ имеют радиус 7 каждая, а расстояние между их центрами равно 4. Окружность ω₃ — это окружность наибольшего радиуса, касающаяся внутренним образом ω₁ и ω₂ и лежащая внутри этих окружностей. Окружность ω₄ касается внутренним образом ω₁ и ω₂ и внешним ω₃. Найдите радиус окружности ω₄.
8.3. Окружности ω₁ и ω₂ имеют радиус 5 каждая, а расстояние между их центрами равно 2. Окружность ω₃ — это окружность наибольшего радиуса, касающаяся внутренним образом ω₁ и ω₂ и лежащая внутри этих окружностей. Окружность ω₄ касается внутренним образом ω₁ и ω₂ и внешним ω₃. Найдите радиус окружности ω₄.
→ Получить все ответы
8.4. Окружности ω₁ и ω₂ имеют радиус 9 каждая, а расстояние между их центрами равно 4. Окружность ω₃ — это окружность наибольшего радиуса, касающаяся внутренним образом ω₁ и ω₂ и лежащая внутри этих окружностей. Окружность ω₄ касается внутренним образом ω₁ и ω₂ и внешним ω₃. Найдите радиус окружности ω₄.
→ Получить все ответы
1.2. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 735? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
1.3. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 525? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
1.4. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 1050? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Получить все ответы
Задание 2. В ряд лежат 28 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых четырёх подряд идущих шариков не менее трёх красных, а среди любых пяти — не менее одного синего. Сколько синих шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
2.2. В ряд лежат 35 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых семи подряд идущих шариков не менее пяти красных, а среди любых четырёх — не менее одного синего. Сколько синих шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Получить все ответы
2.3. В ряд лежат 30 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых трёх подряд идущих шариков не менее двух красных, а среди любых семи — не менее двух синих. Сколько красных шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
2.4. В ряд лежат 25 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых пяти подряд идущих шариков не менее трёх красных, а среди любых шести — не менее двух синих. Сколько красных шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Задание 3. В трапеции ABCD точки P и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ∠BAD = 33°, ∠CDA = 57°. Ответ выразите в градусах.
→ Получить все ответы
3.2. В трапеции ABCD точки P и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ∠BAD = 33°, ∠CDA = 57°. Ответ выразите в градусах.
3.3. В трапеции ABCD точки P и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ∠BAD = 36°, ∠CDA = 54°. Ответ выразите в градусах.
3.4. В трапеции ABCD точки P и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ∠BAD = 31°, ∠CDA = 59°. Ответ выразите в градусах.
Задание 4. Последовательность чисел (aₙ) определяется следующим образом: a₁ = 2, a₂ = 12/13, aₙ = (aₙ₋₂ · aₙ₋₁) / (2aₙ₋₂ — aₙ₋₁) для всех n = 3, 4, … Запишите значение a₅₀₀ в виде несократимой дроби.
→ Получить все ответы
4.2. Последовательность чисел (aₙ) определяется следующим образом: a₁ = 1, a₂ = 3/7, aₙ = (aₙ₋₂ · aₙ₋₁) / (2aₙ₋₂ — aₙ₋₁) для всех n = 3, 4, … Запишите значение a₂₀₀ в виде несократимой дроби.
4.3. Последовательность чисел (aₙ) определяется следующим образом: a₁ = 2, a₂ = 10/11, aₙ = (aₙ₋₂ · aₙ₋₁) / (2aₙ₋₂ — aₙ₋₁) для всех n = 3, 4, … Запишите значение a₄₀₀ в виде несократимой дроби.
4.4. Последовательность чисел (aₙ) определяется следующим образом: a₁ = 1, a₂ = 4/9, aₙ = (aₙ₋₂ · aₙ₋₁) / (2aₙ₋₂ — aₙ₋₁) для всех n = 3, 4, … Запишите значение a₃₀₀ в виде несократимой дроби.
Задание 5. График квадратичной функции f(x) = ax² + bx + c при a > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 5, 12 и 13. Найдите c. Найдите f(3) + f(-3).
→ Получить все ответы
5.2. График квадратичной функции f(x) = ax² + bx + c при a > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 6, 8 и 10. Найдите c. Найдите f(2) + f(-2).
5.3. График квадратичной функции f(x) = ax² + bx + c при a > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 12, 10 и 20. Найдите c. Найдите f(4) + f(-4).
5.4. График квадратичной функции f(x) = ax² + bx + c при a > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 9, 12 и 15. Найдите c. Найдите f(1) + f(-1).
Задание 6. Назовём натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcdef – ab – cd – ef для некоторого шестизначного числа abcdef. Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 400000? Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
→ Получить все ответы
6.2. Назовём натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcdef – ab – cd – ef для некоторого шестизначного числа abcdef. Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 500000? Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
6.3. Назовём натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcdef – ab – cd – ef для некоторого шестизначного числа abcdef. Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 700000? Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
6.4. Назовём натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcdef – ab – cd – ef для некоторого шестизначного числа abcdef. Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 600000? Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
Задание 7. Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив n ≤ 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью S рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1%, второй — 2%, …, n-й — n%, после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться S, если существует единственное n, при котором предмет стоимостью S рублей окажется бесплатным?
→ Получить все ответы
7.2. Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив n ≤ 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью S рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1%, второй — 2%, …, n-й — n%, после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться S, если существует единственное n, при котором предмет стоимостью S рублей окажется бесплатным? Выберите все подходящие варианты:
7.3. Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив n ≤ 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью S рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1%, второй — 2%, …, n-й — n%, после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться S, если существует единственное n, при котором предмет стоимостью S рублей окажется бесплатным? Выберите все подходящие варианты:
7.4. Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив n ≤ 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью S рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1%, второй — 2%, …, n-й — n%, после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться S, если существует единственное n, при котором предмет стоимостью S рублей окажется бесплатным? Выберите все подходящие варианты:
→ Получить все ответы
Задание 8. Окружности ω₁ и ω₂ имеют радиус 3 каждая, а расстояние между их центрами равно 2. Окружность ω₃ — это окружность наибольшего радиуса, касающаяся внутренним образом ω₁ и ω₂ и лежащая внутри этих окружностей. Окружность ω₄ касается внутренним образом ω₁ и ω₂ и внешним ω₃. Найдите радиус окружности ω₄.
→ Получить все ответы
8.2. Окружности ω₁ и ω₂ имеют радиус 7 каждая, а расстояние между их центрами равно 4. Окружность ω₃ — это окружность наибольшего радиуса, касающаяся внутренним образом ω₁ и ω₂ и лежащая внутри этих окружностей. Окружность ω₄ касается внутренним образом ω₁ и ω₂ и внешним ω₃. Найдите радиус окружности ω₄.
8.3. Окружности ω₁ и ω₂ имеют радиус 5 каждая, а расстояние между их центрами равно 2. Окружность ω₃ — это окружность наибольшего радиуса, касающаяся внутренним образом ω₁ и ω₂ и лежащая внутри этих окружностей. Окружность ω₄ касается внутренним образом ω₁ и ω₂ и внешним ω₃. Найдите радиус окружности ω₄.
→ Получить все ответы
8.4. Окружности ω₁ и ω₂ имеют радиус 9 каждая, а расстояние между их центрами равно 4. Окружность ω₃ — это окружность наибольшего радиуса, касающаяся внутренним образом ω₁ и ω₂ и лежащая внутри этих окружностей. Окружность ω₄ касается внутренним образом ω₁ и ω₂ и внешним ω₃. Найдите радиус окружности ω₄.
11 класс
Задание 1. Вика пошла в гости к своей подруге Ане. Вика помнит, что Аня живёт в 143-й квартире, причём в седьмом или восьмом подъезде. Ещё известно, что дом Ани пятиэтажный, а на каждом этаже во всех подъездах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Аня? Найдите наибольший номер квартиры, находящейся на втором этаже пятого подъезда.
→ Получить все ответы
1.2. Артём пошёл в гости к своему другу Яну. Артём помнит, что Ян живёт в 79-й квартире, причём в пятом или шестом подъезде. Ещё известно, что дом Яна пятиэтажный, а на каждом этаже во всех подъездах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Ян? Найдите наибольший номер квартиры, находящейся на первом этаже четвёртого подъезда.
1.3. Вова пошёл в гости к своему другу Саше. Вова помнит, что Саша живёт в 58-й квартире, причём в четвёртом или пятом подъезде. Ещё известно, что дом друга пятиэтажный, а на каждом этаже во всех подъездах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Саша? Найдите наибольший номер квартиры, находящейся на третьем этаже третьего подъезда.
1.4 Витя пошёл в гости к своему другу Феде. Витя помнит, что Федя живёт в 111-й квартире, причём в шестом или седьмом подъезде. Ещё известно, что дом Феди пятиэтажный, а на каждом этаже во всех подъездах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Федя?
→ Получить все ответы
Задание 2. Саша и Костя купили себе по 28 пар носков каждый — некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые — в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару. Сколько всего белых пар купил Костя?
→ Получить все ответы
2.2. Саша и Костя купили себе по 34 пары носков каждый — некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые — в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару. Сколько всего чёрных пар купил Костя?
2.3. Саша и Костя купили себе по 23 пары носков каждый — некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые — в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару. Сколько всего белых пар купил Костя?
→ Получить все ответы
2.4. Саша и Костя купили себе по 21 паре носков каждый — некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые — в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару. Сколько всего чёрных пар купил Костя?
Задание 3. Последовательность (aₙ) определена следующим образом: a₁ = 1, a₁₀ = 55,
aₙ₊₂ = 2aₙ₊₁ — aₙ для всех натуральных n. Найдите a₃.Найдите сумму a₁ + a₂ + … + a₁₀₀.
→ Получить все ответы
3.2. Последовательность (aₙ) определена следующим образом: a₁ = 1, a₉ = 25, aₙ₊₂ = 2aₙ₊₁ — aₙ для всех натуральных n. Найдите a₃. Найдите сумму a₁ + a₂ + … + a₁₀₀.
3.3. Последовательность (aₙ) определена следующим образом: a₁ = 1, a₇ = 31, aₙ₊₂ = 2aₙ₊₁ — aₙ для всех натуральных n. Найдите a₃. Найдите сумму a₁ + a₂ + … + a₁₀₀.
3.4. Последовательность (aₙ) определена следующим образом: a₁ = 1, a₈ = 29, aₙ₊₂ = 2aₙ₊₁ — aₙ для всех натуральных n. Найдите a₃. Найдите сумму a₁ + a₂ + … + a₁₀₀.
Задание 4. Дан ряд чисел 1, 2, …, 2046. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 15? Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Получить все ответы
4.2 Дан ряд чисел 1, 2, …, 2067. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 21? Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
4.3. Дан ряд чисел 1, 2, …, 2074. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 24? Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
4.4. Дан ряд чисел 1, 2, …, 2025. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 18? Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Получить все ответы
Задание 5. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC точка M — середина AC, N — середина BC. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке K. Найдите AB + 2KN, если BC = 18, tg ∠ACB = 40/9.
5.2 В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC точка M — середина AC, N — середина BC. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке K. Найдите AB + 2KN, если BC = 40, tg ∠ACB = 21/20.
→ Получить все ответы
5.3. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC точка M — середина AC, N — середина BC. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке K. Найдите AB + 2KN, если BC = 16, tg ∠ACB = 15/8.
5.4. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC точка M — середина AC, N — середина BC. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке K. Найдите AB + 2KN, если BC = 14, tg ∠ACB = 24/7.
Задание 6. Решите уравнение в натуральных числах: 2x² + 5y² — 4xy + 7 = 8x + 2y. Для каждой пары решений (x; y) в ответ напишите сумму x + y. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Получить все ответы
6.2. Решите уравнение в натуральных числах: 2x² + 5y² — 4xy + 5 = 2x + 6y. Для каждой пары решений (x; y) в ответ напишите сумму x + y. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
6.3. Решите уравнение в натуральных числах: 2x² + 5y² — 4xy = 2x + 6y. Для каждой пары решений (x; y) в ответ напишите сумму x + y. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Получить все ответы
6.4. Решите уравнение в натуральных числах: 2x² + 5y² — 4xy = 4x + 2y. Для каждой пары решений (x; y) в ответ напишите сумму x + y. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Задание 7. В тетраэдре ABCD рёбра AD и BC перпендикулярны. Пусть AH и DE — высоты тетраэдра. Найдите HE, если известно, что AD = 16, а угол между плоскостями ABC и BCD равен 30°. Ответ округлите до целых. Напомним, что высотой тетраэдра называется отрезок, проведённый из вершины к плоскости противоположной грани и перпендикулярный ей.
→ Получить все ответы
7.2. В тетраэдре ABCD рёбра AD и BC перпендикулярны. Пусть AH и DE — высоты тетраэдра. Найдите HE, если известно, что AD = 12, а угол между плоскостями ABC и BCD равен 45°. Ответ округлите до целых. Напомним, что высотой тетраэдра называется отрезок, проведённый из вершины к плоскости противоположной грани и перпендикулярный ей.
7.3. В тетраэдре ABCD рёбра AD и BC перпендикулярны. Пусть AH и DE — высоты тетраэдра. Найдите HE, если известно, что AD = 22, а угол между плоскостями ABC и BCD равен 45°. Ответ округлите до целых. Напомним, что высотой тетраэдра называется отрезок, проведённый из вершины к плоскости противоположной грани и перпендикулярный ей.
→ Получить все ответы
7.4. В тетраэдре ABCD рёбра AD и BC перпендикулярны. Пусть AH и DE — высоты тетраэдра. Найдите HE, если известно, что AD = 10, а угол между плоскостями ABC и BCD равен 30°. Ответ округлите до целых. Напомним, что высотой тетраэдра называется отрезок, проведённый из вершины к плоскости противоположной грани и перпендикулярный ей.
Задание 8. На «Кивипедии» есть несколько статей. В каждой статье имеется хотя бы одна ссылка на другую статью, а также на каждую статью «Кивипедии» ведёт ссылка с хотя бы одной другой статьи, но никакие две статьи не ссылаются друг на друга. Кроме того, известно, что со страницы «Киви (фрукт)», переходя по ссылкам, невозможно дойти до страницы «Киви (птица)». Редакторы хотят добавить ровно одну ссылку в ровно одну статью так, чтобы с каждой статьи, переходя по ссылкам, можно было добраться до любой другой (после этого две статьи могут ссылаться друг на друга). Оказалось, что это получится сделать N способами. Каким числам может равняться N? Выберите все подходящие варианты:
→ Получить все ответы
8.2. На «Кивипедии» есть несколько статей. В каждой статье имеется хотя бы одна ссылка на другую статью, а также на каждую статью «Кивипедии» ведёт ссылка с хотя бы одной другой статьи, но никакие две статьи не ссылаются друг на друга. Кроме того, известно, что со страницы «Киви (фрукт)», переходя по ссылкам, невозможно дойти до страницы «Киви (птица)». Редакторы хотят добавить ровно одну ссылку в ровно одну статью так, чтобы с каждой статьи, переходя по ссылкам, можно было добраться до любой другой (после этого две статьи могут ссылаться друг на друга). Оказалось, что это получится сделать N способами. Каким числам НЕ может равняться N? Выберите все подходящие варианты:
8.3. На «Кивипедии» есть несколько статей. В каждой статье имеется хотя бы одна ссылка на другую статью, а также на каждую статью «Кивипедии» ведёт ссылка с хотя бы одной другой статьи, но никакие две статьи не ссылаются друг на друга. Кроме того, известно, что со страницы «Киви (фрукт)», переходя по ссылкам, невозможно дойти до страницы «Киви (птица)». Редакторы хотят добавить ровно одну ссылку в ровно одну статью так, чтобы с каждой статьи, переходя по ссылкам, можно было добраться до любой другой (после этого две статьи могут ссылаться друг на друга). Оказалось, что это получится сделать N способами. Каким числам может равняться N? Выберите все подходящие варианты:
→ Получить все ответы
8.4. На «Кивипедии» есть несколько статей. В каждой статье имеется хотя бы одна ссылка на другую статью, а также на каждую статью «Кивипедии» ведёт ссылка с хотя бы одной другой статьи, но никакие две статьи не ссылаются друг на друга. Кроме того, известно, что со страницы «Киви (фрукт)», переходя по ссылкам, невозможно дойти до страницы «Киви (птица)». Редакторы хотят добавить ровно одну ссылку в ровно одну статью так, чтобы с каждой статьи, переходя по ссылкам, можно было добраться до любой другой (после этого две статьи могут ссылаться друг на друга). Оказалось, что это получится сделать N способами. Каким числам может равняться N? Выберите все подходящие варианты:
→ Получить все ответы
1.2. Артём пошёл в гости к своему другу Яну. Артём помнит, что Ян живёт в 79-й квартире, причём в пятом или шестом подъезде. Ещё известно, что дом Яна пятиэтажный, а на каждом этаже во всех подъездах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Ян? Найдите наибольший номер квартиры, находящейся на первом этаже четвёртого подъезда.
1.3. Вова пошёл в гости к своему другу Саше. Вова помнит, что Саша живёт в 58-й квартире, причём в четвёртом или пятом подъезде. Ещё известно, что дом друга пятиэтажный, а на каждом этаже во всех подъездах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Саша? Найдите наибольший номер квартиры, находящейся на третьем этаже третьего подъезда.
1.4 Витя пошёл в гости к своему другу Феде. Витя помнит, что Федя живёт в 111-й квартире, причём в шестом или седьмом подъезде. Ещё известно, что дом Феди пятиэтажный, а на каждом этаже во всех подъездах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Федя?
→ Получить все ответы
Задание 2. Саша и Костя купили себе по 28 пар носков каждый — некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые — в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару. Сколько всего белых пар купил Костя?
→ Получить все ответы
2.2. Саша и Костя купили себе по 34 пары носков каждый — некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые — в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару. Сколько всего чёрных пар купил Костя?
2.3. Саша и Костя купили себе по 23 пары носков каждый — некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые — в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару. Сколько всего белых пар купил Костя?
→ Получить все ответы
2.4. Саша и Костя купили себе по 21 паре носков каждый — некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые — в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару. Сколько всего чёрных пар купил Костя?
Задание 3. Последовательность (aₙ) определена следующим образом: a₁ = 1, a₁₀ = 55,
aₙ₊₂ = 2aₙ₊₁ — aₙ для всех натуральных n. Найдите a₃.Найдите сумму a₁ + a₂ + … + a₁₀₀.
→ Получить все ответы
3.2. Последовательность (aₙ) определена следующим образом: a₁ = 1, a₉ = 25, aₙ₊₂ = 2aₙ₊₁ — aₙ для всех натуральных n. Найдите a₃. Найдите сумму a₁ + a₂ + … + a₁₀₀.
3.3. Последовательность (aₙ) определена следующим образом: a₁ = 1, a₇ = 31, aₙ₊₂ = 2aₙ₊₁ — aₙ для всех натуральных n. Найдите a₃. Найдите сумму a₁ + a₂ + … + a₁₀₀.
3.4. Последовательность (aₙ) определена следующим образом: a₁ = 1, a₈ = 29, aₙ₊₂ = 2aₙ₊₁ — aₙ для всех натуральных n. Найдите a₃. Найдите сумму a₁ + a₂ + … + a₁₀₀.
Задание 4. Дан ряд чисел 1, 2, …, 2046. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 15? Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Получить все ответы
4.2 Дан ряд чисел 1, 2, …, 2067. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 21? Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
4.3. Дан ряд чисел 1, 2, …, 2074. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 24? Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
4.4. Дан ряд чисел 1, 2, …, 2025. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 18? Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Получить все ответы
Задание 5. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC точка M — середина AC, N — середина BC. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке K. Найдите AB + 2KN, если BC = 18, tg ∠ACB = 40/9.
5.2 В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC точка M — середина AC, N — середина BC. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке K. Найдите AB + 2KN, если BC = 40, tg ∠ACB = 21/20.
→ Получить все ответы
5.3. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC точка M — середина AC, N — середина BC. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке K. Найдите AB + 2KN, если BC = 16, tg ∠ACB = 15/8.
5.4. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC точка M — середина AC, N — середина BC. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке K. Найдите AB + 2KN, если BC = 14, tg ∠ACB = 24/7.
Задание 6. Решите уравнение в натуральных числах: 2x² + 5y² — 4xy + 7 = 8x + 2y. Для каждой пары решений (x; y) в ответ напишите сумму x + y. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Получить все ответы
6.2. Решите уравнение в натуральных числах: 2x² + 5y² — 4xy + 5 = 2x + 6y. Для каждой пары решений (x; y) в ответ напишите сумму x + y. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
6.3. Решите уравнение в натуральных числах: 2x² + 5y² — 4xy = 2x + 6y. Для каждой пары решений (x; y) в ответ напишите сумму x + y. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
→ Получить все ответы
6.4. Решите уравнение в натуральных числах: 2x² + 5y² — 4xy = 4x + 2y. Для каждой пары решений (x; y) в ответ напишите сумму x + y. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Задание 7. В тетраэдре ABCD рёбра AD и BC перпендикулярны. Пусть AH и DE — высоты тетраэдра. Найдите HE, если известно, что AD = 16, а угол между плоскостями ABC и BCD равен 30°. Ответ округлите до целых. Напомним, что высотой тетраэдра называется отрезок, проведённый из вершины к плоскости противоположной грани и перпендикулярный ей.
→ Получить все ответы
7.2. В тетраэдре ABCD рёбра AD и BC перпендикулярны. Пусть AH и DE — высоты тетраэдра. Найдите HE, если известно, что AD = 12, а угол между плоскостями ABC и BCD равен 45°. Ответ округлите до целых. Напомним, что высотой тетраэдра называется отрезок, проведённый из вершины к плоскости противоположной грани и перпендикулярный ей.
7.3. В тетраэдре ABCD рёбра AD и BC перпендикулярны. Пусть AH и DE — высоты тетраэдра. Найдите HE, если известно, что AD = 22, а угол между плоскостями ABC и BCD равен 45°. Ответ округлите до целых. Напомним, что высотой тетраэдра называется отрезок, проведённый из вершины к плоскости противоположной грани и перпендикулярный ей.
→ Получить все ответы
7.4. В тетраэдре ABCD рёбра AD и BC перпендикулярны. Пусть AH и DE — высоты тетраэдра. Найдите HE, если известно, что AD = 10, а угол между плоскостями ABC и BCD равен 30°. Ответ округлите до целых. Напомним, что высотой тетраэдра называется отрезок, проведённый из вершины к плоскости противоположной грани и перпендикулярный ей.
Задание 8. На «Кивипедии» есть несколько статей. В каждой статье имеется хотя бы одна ссылка на другую статью, а также на каждую статью «Кивипедии» ведёт ссылка с хотя бы одной другой статьи, но никакие две статьи не ссылаются друг на друга. Кроме того, известно, что со страницы «Киви (фрукт)», переходя по ссылкам, невозможно дойти до страницы «Киви (птица)». Редакторы хотят добавить ровно одну ссылку в ровно одну статью так, чтобы с каждой статьи, переходя по ссылкам, можно было добраться до любой другой (после этого две статьи могут ссылаться друг на друга). Оказалось, что это получится сделать N способами. Каким числам может равняться N? Выберите все подходящие варианты:
→ Получить все ответы
8.2. На «Кивипедии» есть несколько статей. В каждой статье имеется хотя бы одна ссылка на другую статью, а также на каждую статью «Кивипедии» ведёт ссылка с хотя бы одной другой статьи, но никакие две статьи не ссылаются друг на друга. Кроме того, известно, что со страницы «Киви (фрукт)», переходя по ссылкам, невозможно дойти до страницы «Киви (птица)». Редакторы хотят добавить ровно одну ссылку в ровно одну статью так, чтобы с каждой статьи, переходя по ссылкам, можно было добраться до любой другой (после этого две статьи могут ссылаться друг на друга). Оказалось, что это получится сделать N способами. Каким числам НЕ может равняться N? Выберите все подходящие варианты:
8.3. На «Кивипедии» есть несколько статей. В каждой статье имеется хотя бы одна ссылка на другую статью, а также на каждую статью «Кивипедии» ведёт ссылка с хотя бы одной другой статьи, но никакие две статьи не ссылаются друг на друга. Кроме того, известно, что со страницы «Киви (фрукт)», переходя по ссылкам, невозможно дойти до страницы «Киви (птица)». Редакторы хотят добавить ровно одну ссылку в ровно одну статью так, чтобы с каждой статьи, переходя по ссылкам, можно было добраться до любой другой (после этого две статьи могут ссылаться друг на друга). Оказалось, что это получится сделать N способами. Каким числам может равняться N? Выберите все подходящие варианты:
→ Получить все ответы
8.4. На «Кивипедии» есть несколько статей. В каждой статье имеется хотя бы одна ссылка на другую статью, а также на каждую статью «Кивипедии» ведёт ссылка с хотя бы одной другой статьи, но никакие две статьи не ссылаются друг на друга. Кроме того, известно, что со страницы «Киви (фрукт)», переходя по ссылкам, невозможно дойти до страницы «Киви (птица)». Редакторы хотят добавить ровно одну ссылку в ровно одну статью так, чтобы с каждой статьи, переходя по ссылкам, можно было добраться до любой другой (после этого две статьи могут ссылаться друг на друга). Оказалось, что это получится сделать N способами. Каким числам может равняться N? Выберите все подходящие варианты:
Часть ответов по ВсОШ публикуется бесплатно в нашем Telegram-канале: @shcolaotvet
