Школьный этап ВсОШ СИРИУС по Математике 10-11 класс, Группа 3 (17.10.2025)

Задание 1. Натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают чётную сумму, назовём почётным, а натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают нечётную сумму, — понечётным. Найдите наименьшее почётное число с суммой цифр, равной 2014. Сколько цифр в этом числе? Запишите первые две цифры получившегося числа.

Ответ: 2014 и 11

1.2. Натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают чётную сумму, назовём почётным, а натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают нечётную сумму, — понечётным. Найдите наименьшее почётное число с суммой цифр, равной 2001.Сколько цифр в этом числе? Запишите первые две цифры получившегося числа.

Ответ: 2001 и 11

1.3. Натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают чётную сумму, назовём почётным, а натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают нечётную сумму, — понечётным. Найдите наименьшее почётное число с суммой цифр, равной 2028. Сколько цифр в этом числе? Запишите первые две цифры получившегося числа.

Ответ: 2028 и 11

Задание 2. Две подруги в ходе телефонных бесед обменивались новостями: Катя рассказала Соне две новости, та в ответ — свою, в следующий раз Катя снова рассказала две новости, а Соня — две и всё время Катя рассказывала ровно по две новости, а Соня — на одну больше, чем в предыдущий раз. В ходе очередной беседы настал момент, когда было рассказано ровно 800 новостей. Сколько из них рассказала Соня?

Ответ: 724

2.2. Две подруги в ходе телефонных бесед обменивались новостями: Катя рассказала Соне две новости, та в ответ — свою, в следующий раз Катя снова рассказала две новости, а Соня — две и всё время Катя рассказывала ровно по две новости, а Соня — на одну больше, чем в предыдущий раз. В ходе очередной беседы настал момент, когда было рассказано ровно 800 новостей. Сколько из них рассказала Соня?

Ответ: 724

Задание 3. Два приятеля отправились на охоту, предполагая всё время двигаться с одной и той же скоростью. Однако, проехав 1/6 расстояния до нужного места, они остановились на смотровой площадке и пробыли там 10 минут. Поехав дальше, приятели увеличили скорость на 30 % и надеялись успеть на место даже раньше, чем изначально предполагали. Но, отъехав от смотровой площадки на расстояние, равное 1/10 всего пути, они поняли, что забыли там штатив. Вернувшись обратно, приятели забрали штатив и немедленно снова поехали в нужном направлении. В итоге им удалось приехать на место точно ко времени, запланированному изначально. Сколько всего времени они пробыли в пути от дома до места охоты? Ответ выразите в часах.

Ответ: 13/3 часа

3.2. Два приятеля отправились на охоту, предполагая всё время двигаться с одной и той же скоростью. Однако, проехав 1/3 расстояния до нужного места, они остановились на смотровой площадке и пробыли там 10 минут. Поехав дальше, приятели увеличили скорость на 30 % и надеялись успеть на место даже раньше, чем изначально предполагали. Но, отъехав от смотровой площадки на расстояние, равное 1/12 всего пути, они поняли, что забыли там штатив. Вернувшись обратно, приятели забрали штатив и немедленно снова поехали в нужном направлении. В итоге им удалось приехать на место точно ко времени, запланированному изначально. Сколько всего времени они пробыли в пути от дома до места охоты? Ответ выразите в часах.

Ответ: 13/2 часа

Задание 4. Дан квадратный трёхчлен x^2 — 2bx + c^2, который имеет два различных корня. После увеличения каждого из этих корней на 2 был получен новый приведённый квадратный трёхчлен. На что заменится c^2? Выберите все подходящие варианты:

Ответ: c2 + 4b + 4

4.2. Дан квадратный трёхчлен x^2 — 2bx + c^2, который имеет два различных корня. После увеличения каждого из этих корней на 1 был получен новый приведённый квадратный трёхчлен. На что заменится c^2? Выберите все подходящие варианты:

Ответ: c2 + 2b + 1

Задание 5. Валерий кидает дротик в доску для дартса, имеющую форму правильного шестиугольника ABCDEF. При этом он попадает в любую точку доски с равной вероятностью. Найдите вероятность того, что дротик окажется в точке, принадлежащей треугольнику ACE. Ответ запишите в виде обыкновенной дроби.

→ Получить ответы

5.2. Валерий кидает дротик в доску для дартса, имеющую форму правильного шестиугольника ABCDEF. При этом он попадает в любую точку доски с равной вероятностью. Найдите вероятность того, что дротик окажется в точке, принадлежащей треугольнику ADE. Ответ запишите в виде обыкновенной дроби.

5.3. Валерий кидает дротик в доску для дартса, имеющую форму правильного шестиугольника ABCDEF. При этом он попадает в любую точку доски с равной вероятностью. Найдите вероятность того, что дротик окажется в точке, принадлежащей треугольнику ACD. Ответ запишите в виде обыкновенной дроби.

→ Получить ответы

5.4. Валерий кидает дротик в доску для дартса, имеющую форму правильного шестиугольника ABCDEF. При этом он попадает в любую точку доски с равной вероятностью. Найдите вероятность того, что дротик окажется в точке, принадлежащей треугольнику ABC. Ответ запишите в виде обыкновенной дроби.

Задание 6. Салфетка имеет форму прямоугольного треугольника с катетами 15 и 20 см. Пусть C — вершина прямого угла. Найдите площадь фигуры, которая получится при складывании этой салфетки по биссектрисе СК. Ответ выразите в квадратных сантиметрах, округлите до целых.

→ Получить ответы

6.2. Салфетка имеет форму прямоугольного треугольника с катетами 15 и 20 см. Пусть C — вершина прямого угла. Найдите площадь фигуры, которая получится при складывании этой салфетки по биссектрисе СК. Ответ выразите в квадратных сантиметрах, округлите до целых.

6.3. Салфетка имеет форму прямоугольного треугольника с катетами 10 и 24 см. Пусть C — вершина прямого угла. Найдите площадь фигуры, которая получится при складывании этой салфетки по биссектрисе CK. Ответ выразите в квадратных сантиметрах, округлите до целых.

→ Получить ответы

6.4. Салфетка имеет форму прямоугольного треугольника с катетами 16 и 30 см. Пусть C — вершина прямого угла. Найдите площадь фигуры, которая получится при складывании этой салфетки по биссектрисе CK. Ответ выразите в квадратных сантиметрах, округлите до целых.

Задание 7. В буфете продаются только пирожки с картошкой по 18 рублей и пирожки с капустой по 22 рубля. Выручка буфета за день составила 1500 рублей. Определите минимальное и максимальное возможное количество проданных за день пирожков.

→ Получить ответы

7.2. В буфете продаются только пирожки с картошкой по 16 рублей и пирожки с капустой по 22 рубля. Выручка буфета за день составила 1720 рублей. Определите минимальное и максимальное возможное количество проданных за день пирожков.

7.3. В буфете продаются только пирожки с картошкой по 18 рублей и пирожки с капустой по 22 рубля. Выручка буфета за день составила 1640 рублей. Определите минимальное и максимальное возможное количество проданных за день пирожков.

→ Получить ответы

7.4. В буфете продаются только пирожки с картошкой по 16 рублей и пирожки с капустой по 22 рубля. Выручка буфета за день составила 1680 рублей. Определите минимальное и максимальное возможное количество проданных за день пирожков.

Задание 8. По кругу стоят 240 человек: рыцари, всегда говорящие правду, и лжецы, которые всегда лгут. Каждый из этих людей заявил: «Среди окружающих меня четырёх человек — двух с одной и двух с другой стороны — лжецов больше, чем рыцарей». Например, человек, стоящий пятым, так заявляет о соседях на позициях с номерами 3, 4, 6 и 7. Найдите наименьшее и наибольшее возможное число рыцарей.

→ Получить ответы

8.2. По кругу стоят 288 человек: рыцари, всегда говорящие правду, и лжецы, которые всегда лгут. Каждый из этих людей заявил: «Среди окружающих меня четырёх человек — двух с одной и двух с другой стороны — лжецов больше, чем рыцарей». Например, человек, стоящий пятым, так заявляет о соседях на позициях с номерами 3, 4, 6 и 7. Найдите наименьшее и наибольшее возможное число рыцарей.

8.3. По кругу стоят 132 человека: рыцари, всегда говорящие правду, и лжецы, которые всегда лгут. Каждый из этих людей заявил: «Среди окружающих меня четырёх человек — двух с одной и двух с другой стороны — лжецов больше, чем рыцарей». Например, человек, стоящий пятым, так заявляет о соседях на позициях с номерами 3, 4, 6 и 7. Найдите наименьшее и наибольшее возможное число рыцарей.

Задание 1. Какую наименьшую сумму могут иметь девять последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на 222324257

Ответ: 222324282

1.2. Какую наименьшую сумму могут иметь девять последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на 24252627?

Ответ: 624252627

1.3. Какую наименьшую сумму могут иметь девять последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на 29282726?

Ответ: 833333526

Задание 2. На доске написаны 73 натуральных числа. Аня и Ваня по очереди стирают с доски числа: сначала Аня стирает 11 чисел, затем Ваня стирает 10 чисел, после этого Аня стирает 9 чисел, за ней Ваня — 8 чисел и так далее. В конце Аня стирает 1 число. Аня хочет, чтобы все 7 оставшихся на доске чисел были чётными. Какое наименьшее количество чётных чисел должно быть изначально написано на доске, чтобы ей гарантированно удалось это сделать?

Ответ: 14

2.2. На доске написаны 96 натуральных числа. Аня и Ваня по очереди стирают с доски числа: сначала Аня стирает 13 чисел, затем Ваня стирает 12 чисел, после этого Аня стирает 11 чисел, за ней Ваня — 10 чисел и так далее. В конце Аня стирает 1 число. Аня хочет, чтобы все 5 оставшихся на доске чисел были чётными. Какое наименьшее количество чётных чисел должно быть изначально написано на доске, чтобы ей гарантированно удалось это сделать?

Ответ: 59

Задание 3. Уравнение (x^2 + 16x + b)(x^2 + 16x + b + 50) = 0 имеет четыре корня, образующих арифметическую прогрессию. Каким может быть первый член этой прогрессии? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: — 25 — 21

3.2. Уравнение (x^2 + 13x + b)(x^2 + 13x + b — 32) = 0 имеет четыре корня, образующих арифметическую прогрессию. Каким может быть первый член этой прогрессии? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: -12,5

3.3. Уравнение (x^2 + 14x + b)(x^2 + 14x + b + 18) = 0 имеет четыре корня, образующих арифметическую прогрессию. Каким может быть первый член этой прогрессии? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

→ Получить ответы

Задание 4. Обозначим через P(x_1, x_2, …, x_n) сумму чисел, обратных всем возможным произведениям чисел из множества M = {x_1, x_2, …, x_n} (в произведение может входить и одно число). Например, P(3, 4, 6) = 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/12 + 1/18 + 1/24 + 1/72 = 68/72 = 17/18. Найдите P(1, 2, 3, …, 124, 125).

4.2. Обозначим через P(x_1, x_2, …, x_n) сумму чисел, обратных всем возможным произведениям чисел из множества M = {x_1, x_2, …, x_n} (в произведение может входить и одно число). Например, P(3, 4, 6) = 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/12 + 1/18 + 1/24 + 1/72 = 68/72 = 17/18. Найдите P(1, 2, 3, …, 424, 425).

→ Получить ответы

4.3. Обозначим через P(x_1, x_2, …, x_n) сумму чисел, обратных всем возможным произведениям чисел из множества M = {x_1, x_2, …, x_n} (в произведение может входить и одно число). Например, P(3, 4, 6) = 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/12 + 1/18 + 1/24 + 1/72 = 68/72 = 17/18. Найдите P(1, 2, 3, …, 224, 225).

Задание 5. В пространстве даны замкнутая 13-звенная ломаная A_1A_2…A_13A_1, каждое звено которой имеет длину 2, и точка S, такая, что каждый из треугольников SA_1A_2, SA_2A_3…SA_12A_13, SA_13A_1 — невырожденный, имеет целочисленные стороны, а у одного из них есть сторона длины 6. Для каждого из этих треугольников вычислили его периметр. Какое наибольшее значение периметра могло получиться?

→ Получить ответы

5.2. В пространстве даны замкнутая 11-звенная ломаная A_1A_2…A_11A_1, каждое звено которой имеет длину 2, и точка S, такая, что каждый из треугольников SA_1A_2, SA_2A_3…SA_10A_11, SA_11A_1 — невырожденный, имеет целочисленные стороны, а у одного из них есть сторона длины 5. Для каждого из этих треугольников вычислили его периметр. Какое наибольшее значение периметра могло получиться?

5.3. В пространстве даны замкнутая 15-звенная ломаная A_1A_2…A_15A_1, каждое звено которой имеет длину 2, и точка S, такая, что каждый из треугольников SA_1A_2, SA_2A_3…, SA_14A_15, SA_15A_1 — невырожденный, имеет целочисленные стороны, а у одного из них есть сторона длины 7. Для каждого из этих треугольников вычислили его периметр. Какое наибольшее значение периметра могло получиться?

→ Получить ответы

Задание 6. По кольцевой трассе в одном направлении из разных точек трассы ровно в 08:00 стартовали три велосипедиста. Первый из них проезжает всю трассу за 3 минуты, второй — за 5 минут, третий — за 7 минут. Через полторы минуты все трое оказались в одной точке трассы. В какое время велосипедисты во второй раз окажутся в одной точке трассы, если их скорости постоянны? Ответ запишите в 24-часовом формате ЧЧ:ММ.

6.2. По кольцевой трассе в одном направлении из разных точек трассы ровно в 08:00 стартовали три велосипедиста. Первый из них проезжает всю трассу за 3 минуты, второй — за 5 минут, третий — за 7 минут. Через две с половиной минуты все трое оказались в одной точке трассы. В какое время велосипедисты во второй раз окажутся в одной точке трассы, если их скорости постоянны? Ответ запишите в 24-часовом формате ЧЧ:ММ.

→ Получить ответы

6.3. По кольцевой трассе в одном направлении из разных точек трассы ровно в 08:00 стартовали три велосипедиста. Первый из них проезжает всю трассу за 5 минут, второй — за 7 минут, третий — за 9 минут. Через полторы минуты все трое оказались в одной точке трассы. В какое время велосипедисты во второй раз окажутся в одной точке трассы, если их скорости постоянны? Ответ запишите в 24-часовом формате ЧЧ:ММ.

6.4. По кольцевой трассе в одном направлении из разных точек трассы ровно в 08:00 стартовали три велосипедиста. Первый из них проезжает всю трассу за 7 минут, второй — за 9 минут, третий — за 11 минут. Через полторы минуты все трое оказались в одной точке трассы. В какое время велосипедисты во второй раз окажутся в одной точке трассы, если их скорости постоянны? Ответ запишите в 24-часовом формате ЧЧ:ММ.

→ Получить ответы

Задание 7. Даны две параллельные прямые b и c и точка A, не лежащая между ними. Луч, выходящий из точки A перпендикулярно этим прямым, пересекает прямую b в точке P, а прямую c — в точке Q. Известно, что AP = 6, AQ = 20. Сколькими способами можно выбрать на прямой b точку B, а на прямой c — точку C так, чтобы отрезки BP и CQ имели целую длину, а угол ACB был прямым?

7.2. Даны две параллельные прямые b и c и точка A, не лежащая между ними. Луч, выходящий из точки A перпендикулярно этим прямым, пересекает прямую b в точке P, а прямую c — в точке Q. Известно, что AP = 4, AQ = 18. Сколькими способами можно выбрать на прямой b точку B, а на прямой c — точку C так, чтобы отрезки BP и CQ имели целую длину, а угол ACB был прямым?

→ Получить ответы

7.3. Даны две параллельные прямые b и c и точка A, не лежащая между ними. Луч, выходящий из точки A перпендикулярно этим прямым, пересекает прямую b в точке P, а прямую c — в точке Q. Известно, что AP = 16, AQ = 25. Сколькими способами можно выбрать на прямой b точку B, а на прямой c — точку C так, чтобы отрезки BP и CQ имели целую длину, а угол ACB был прямым?

Задание 8. В клетках доски 32 × 92 стоят рыцари и лжецы — по одному человеку в каждой клетке. Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Каждый из них заявил, что одним из его соседей является лжец. Соседями считаются люди, клетки которых граничат по стороне или по вершине. Какое наибольшее число рыцарей может стоять на доске?

→ Получить ответы

8.2. В клетках доски 32 × 92 стоят рыцари и лжецы — по одному человеку в каждой клетке. Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Каждый из них заявил, что одним из его соседей является лжец. Соседями считаются люди, клетки которых граничат по стороне или по вершине. Какое наибольшее число рыцарей может стоять на доске?

8.3. В клетках доски 47 × 92 стоят рыцари и лжецы — по одному человеку в каждой клетке. Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Каждый из них заявил, что одним из его соседей является лжец. Соседями считаются люди, клетки которых граничат по стороне или по вершине. Какое наибольшее число рыцарей может стоять на доске?

→ Получить ответы

8.4. В клетках доски 47 × 32 стоят рыцари и лжецы — по одному человеку в каждой клетке. Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Каждый из них заявил, что одним из его соседей является лжец. Соседями считаются люди, клетки которых граничат по стороне или по вершине. Какое наибольшее число рыцарей может стоять на доске?