Школьный этап ВсОШ СИРИУС по Математике 7-9 класс, Группа 3 (17.10.2025)

Задание 1. У белочек Альфы, Беты и Гаммы было поровну орехов. Бета съела несколько орехов из своего запаса, а Альфа подарила Гамме на день рождения 60 орехов. После этого у Беты стало вдвое больше орехов, чем у Альфы, а у Гаммы — вдвое больше, чем у Беты. Сколько орехов съела Бета?

Ответ: 20

1.2. У поросят Ниф-Нифа, Нуф-Нуфа и Наф-Нафа было поровну желудей. Нуф-Нуф съел несколько желудей из своего запаса, а Ниф-Ниф подарил Наф-Нафу за спасение своей жизни 45 желудей. После этого у Нуф-Нуфа стало вдвое больше желудей, чем у Ниф-Нифа, а у Наф-Нафа — вдвое больше, чем у Нуф-Нуфа. Сколько желудей съел Нуф-Нуф?

Ответ: 15

1.3. У зайчиков Айба, Бена и Гима было поровну морковок. Бен съел несколько морковок из своего запаса, а Айб подарил Гиму на день рождения 30 морковок. После этого у Бена стало вдвое больше морковок, чем у Айба, а у Гима — вдвое больше, чем у Бена. Сколько морковок съел Бен?

Ответ: 10

1.4. У богатырей Ильи, Добрыни и Алёши было поровну золотых монет. Добрыня потратил несколько монет из своего запаса на покупку седла, а Алёша подарил Илье на день рождения 75 монет. После этого у Добрыни стало вдвое больше монет, чем у Алёши, а у Ильи — вдвое больше, чем у Добрыни. Сколько монет потратил Добрыня?

Ответ: 25

Расставьте в верной последовательности

Ответ: b с d a

Задание 3. Андрей выписал на доску все числа от 1 до 999. Затем вычеркнул все числа, не содержащие 4 в своей записи. Дальше вычеркнул все числа, содержащие в записи две или три четвёрки. А потом ещё вычеркнул все числа, не дающие остатка 4 при делении на 9. Сколько чисел у него осталось?

Ответ: 30

3.2. Дима выписал на доску все числа от 1 до 999. Затем вычеркнул все числа, не содержащие 7 в своей записи. Дальше вычеркнул все числа, содержащие в записи две или три семёрки. А потом ещё вычеркнул все числа, не дающие остатка 6 при делении на 9. Сколько чисел у него осталось?

Ответ: 27

3.3. Лена выписала на доску все числа от 1 до 999. Затем вычеркнула все числа, не содержащие 2 в своей записи. Дальше вычеркнула все числа, содержащие в записи две или три двойки. А потом ещё вычеркнула все числа, не дающие остатка 6 при делении на 9. Сколько чисел у неё осталось?

Ответ: 30

3.4. Ира выписала на доску все числа от 1 до 999. Затем вычеркнула все числа, не содержащие 5 в своей записи. Дальше вычеркнула все числа, содержащие в записи две или три пятёрки. А потом ещё вычеркнула все числа, не дающие остатка 7 при делении на 9. Сколько чисел у неё осталось?

Ответ: 27

Задание 4. Пятьдесят жевунов стоят в кругу. На каждого жевуна надели очки — красные или зелёные, но никому не сказали, какие очки на ком надеть. Зелёные очки передают цвета правильно, а вот жевуну в красных очках зелёный цвет кажется красным, и наоборот. На вопрос «Верно ли, что ваш сосед справа в красных очках?» утвердительно ответили 10 жевунов. А сколько жевунов утвердительно ответят на вопрос «Верно ли, что два ваших ближайших соседа слева в очках одного цвета?»

Ответ: 40

4.2. Шестьдесят мигунов стоят в кругу. На каждого мигуна надели очки — красные или зелёные, но никому не сказали, какие очки на ком надеты. Зелёные очки передают цвета правильно, а вот мигуну в красных очках зелёный цвет кажется красным, и наоборот. На вопрос «Верно ли, что ваш сосед справа в красных очках?» утвердительно ответили 20 мигунов. А сколько мигунов утвердительно ответят на вопрос «Верно ли, что два ваших ближайших соседа слева в очках одного цвета?»

Ответ: 40

4.3. Пятьдесят хоббитов стоят в кругу. На каждого хоббита надели очки — красные или зелёные, но никому не сказали, какие очки на ком надеты. Зелёные очки передают цвета правильно, а вот хоббиту в красных очках зелёный цвет кажется красным, и наоборот. На вопрос «Верно ли, что ваш сосед справа в красных очках?» утвердительно ответили 20 хоббитов. А сколько хоббитов утвердительно ответят на вопрос «Верно ли, что два ваших ближайших соседа слева в очках одного цвета?»

Ответ: 30

4.4. Сорок человек стоят в кругу. На каждого надели очки — розовые или зелёные, но никому не сказали, какие очки на ком надеты. Зелёные очки передают цвета правильно, а вот человеку в розовых очках зелёный цвет кажется розовым, и наоборот. На вопрос «Верно ли, что ваш сосед справа в розовых очках?» утвердительно ответили 10 человек. А сколько человек утвердительно ответят на вопрос «Верно ли, что два ваших ближайших соседа слева в очках одного цвета?»

Ответ: 30

Задание 5. Саша придумал новую единицу длины — cap. Однажды Саша построил прямоугольник и измерял его периметр (в сарах) и площадь (в квадратных сарах). Оказалось, что периметр на 80 % больше площади. Если же периметр измерять в метрах, а площадь — в квадратных метрах, то периметр Сашиного прямоугольника будет составлять 120 % от площади. Сколько метров в саре?

5.2. Миша придумал новую единицу длины — миш. Однажды Миша построил прямоугольник и измерил его периметр (в мишах) и площадь (в квадратных мишах). Оказалось, что периметр на 50 % больше площади. Если же периметр измерить в сантиметрах, а площадь — в квадратных сантиметрах, то периметр Мишиного прямоугольника будет составлять 60 % от площади. Сколько сантиметров в мише?

5.3. Вася придумал новую единицу длины — икс. Однажды Вася построил прямоугольник и измерил его периметр (в иксах) и площадь (в квадратных иксах). Оказалось, что периметр на 25 % больше площади. Если же периметр измерить в метрах, а площадь в квадратных метрах, то площадь Васиного прямоугольника будет на 60 % больше периметра. Сколько метров в иксе?

5.4. Ваня придумал новую единицу длины — микс. Однажды Ваня построил прямоугольник и измерил его периметр (в миксах) и площадь (в квадратных миксах). Оказалось, что периметр на 20 % больше площади. Если же периметр измерить в сантиметрах, а площадь — в квадратных сантиметрах, то периметр Ваниного прямоугольника будет составлять 80 % от площади. Сколько сантиметров в миксе?

Задание 6. Миша и его борзая Убегай вышли на прогулку. Миша едет на велосипеде со скоростью 15 км/ч по прямой дороге, удаляясь от дома. Когда Миша отъехал на 200 метров от дома, он спустил Убегая с поводка и пёс помчался к дому со скоростью 30 км/ч. Прибежав к дому, Убегай тут же развернулся и побежал догонять Мишу, который по-прежнему ехал от дома со своей скоростью. Догнав Мишу, Убегай снова побежал к дому, а затем — снова к Мише и т. д. На каком расстоянии от дома окажется Миша, когда Убегай сделает четыре пробежки до дома и обратно? Ответ выразите в метрах.

6.2. Антон и его лабрадор Шарик вышли на прогулку. Антон идёт со скоростью 4 км/ч по прямой дороге, удаляясь от дома. Когда Антон отошёл на 150 метров от дома, он спустил Шарика с поводка и пёс помчался к дому со скоростью 8 км/ч. Прибежав к дому, Шарик тут же развернулся и побежал догонять Антона, который по-прежнему шёл от дома со своей скоростью. Догнав Антона, Шарик снова побежал к дому, а затем — снова к Антону и т. д. На каком расстоянии от дома окажется Антон, когда Шарик сделает пять пробежек до дома и обратно? Ответ выразите в метрах.

6.3. Леонид и его бульдог Закусей вышли на прогулку. Леонид идёт со скоростью 5 км/ч по прямой дороге, удаляясь от дома. Когда Леонид отошёл на сто метров от дома, он спустил Закусей с поводка и пёс помчался к дому со скоростью 10 км/ч. Прибежав к дому, Закусей тут же развернулся и побежал догонять Леонида, который по-прежнему шёл от дома со своей скоростью. Догнав Леонида, Закусей снова побежал к дому, а затем — снова к Леониду и т. д. На каком расстоянии от дома окажется Леонид, когда Закусей сделает пять пробежек до дома и обратно? Ответ выразите в метрах.

6.4. Рада и её собака Ася вышли на прогулку. Рада идёт со скоростью 6 км/ч по прямой дороге, удаляясь от дома. Когда Рада отошла на сто метров от дома, она спустила Асю с поводка и собака помчалась к дому со скоростью 12 км/ч. Прибежав к дому, Ася тут же развернулась и побежала догонять Раду, которая по-прежнему шла от дома со своей скоростью. Догнав Раду, Ася снова побежала к дому, а затем — снова к Раде и т. д. На каком расстоянии от дома окажется Рада, когда Ася сделает четыре пробежки до дома и обратно? Ответ выразите в метрах.

Задание 7. В литературном форуме участвовали петербуржцы и москвичи. Участники форума сели в круг, и каждый поздоровался с двумя ближайшими соседями. Оказалось, что: 20 участников поздоровались и с поэтом, и с прозаиком;15 участников поздоровались с двумя прозаиками;

• у 14 участников один сосед из Москвы, а другой — из Петербурга; у 13 участников оба соседа из Петербурга. Никто не является поэтом и прозаиком одновременно. Найдите модуль разности количества поэтов и участников из Москвы.

7.2. В литературном форуме участвовали петербуржцы и москвичи. Участники форума сели в круг, и каждый поздоровался с двумя ближайшими соседями. Оказалось, что: 16 участников поздоровались и с поэтом, и с прозаиком; 15 участников поздоровались с двумя прозаиками; у 18 участников один сосед из Москвы, а другой — из Петербурга; у 6 участников оба соседа из Петербурга. Никто не является поэтом и прозаиком одновременно. Найдите модуль разности количества поэтов и участников из Москвы.

7.3. В литературном форуме участвовали петербуржцы и москвичи. Участники форума сели в круг, и каждый поздоровался с двумя ближайшими соседями. Оказалось, что: 20 участников поздоровались и с поэтом, и с прозаиком; 11 участников поздоровались с двумя прозаиками; 16 участников один сосед из Москвы, а другой — из Петербурга; 11 участников оба соседа из Петербурга. Никто не является поэтом и прозаиком одновременно. Найдите модуль разности количества поэтов и участников из Москвы.

7.4. В литературном форуме участвовали петербуржцы и москвичи. Участники форума сели в круг, и каждый поздоровался с двумя ближайшими соседями. Оказалось, что: 30 участников поздоровались и с поэтом, и с прозаиком; 25 участников поздоровались с двумя прозаиками; у 16 участников один сосед из Москвы, а другой — из Петербурга; у 12 участников оба соседа из Петербурга. Никто не является поэтом и прозаиком одновременно. Найдите модуль разности количества поэтов и участников из Москвы.

Задание 8. Дан квадрат 11 × 11. Катя отмечает по одной клетке. Каждый раз, когда Катя отмечает клетку, она записывает, сколько клеток, соседних по стороне с отмечаемой, было отмечено ранее. Оказалось, что из 121 написанного числа одиннадцать — нули и десять — единицы. Какое наибольшее количество четвёрок могло быть написано?

8.2. Дан квадрат 12 × 12. Коля отмечает по одной клетке. Каждый раз, когда Коля отмечает клетку, он записывает, сколько клеток, соседних по стороне с отмечаемой, было отмечено ранее. Оказалось, что из 144 написанных чисел двадцать — нули и десять — единицы. Какое наибольшее количество четвёрок могло быть написано?

8.3. Дан квадрат 10 × 10. Андрей отмечает по одной клетке. Каждый раз, когда Андрей отмечает клетку, он записывает, сколько клеток, соседних по стороне с отмечаемой, было отмечено ранее. Оказалось, что из 100 написанных чисел десять — нули и десять — единицы. Какое наибольшее количество четвёрок могло быть написано?

8.4. Дан квадрат 12 × 12. Андрей отмечает по одной клетке. Каждый раз, когда Андрей отмечает клетку, он записывает, сколько клеток, соседних по стороне с отмечаемой, было отмечено ранее. Оказалось, что из 144 написанных чисел четырнадцать — нули и десять — единицы. Какое наибольшее количество четвёрок могло быть написано?

Задание 1. Натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают чётную сумму, назовём почётным, а натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают нечётную сумму — понечётным. Найдите количество цифр наибольшего понечётного числа с суммой цифр 2026.

Ответ: 4052

1.2. Натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают чётную сумму, назовём почётным, а натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают нечётную сумму — понечётным. Найдите количество цифр наибольшего понечётного числа с суммой цифр 2040.

Ответ: 4080

1.3. Натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают чётную сумму, назовём почётным, а натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают нечётную сумму — понечётным. Найдите количество цифр наибольшего понечётного числа с суммой цифр 2015.

Ответ: 4030

1.4. Натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают чётную сумму, назовём почётным, а натуральное число, каждые две соседние цифры которого дают нечётную сумму — понечётным. Найдите количество цифр наибольшего понечётного числа с суммой цифр 2025.

Ответ: 4050

Задание 2. Сумма чисел на противоположных гранях игральной кости (кубика) равна 7. Игральная кость последовательно перекатывается по указанной на рисунке траектории.

После перекатывания кубик оказался в следующем положении:

Какая цифра окажется на верхней грани кубика, когда он переместится в финишную позицию?

Ответ; 4

2.2. Сумма чисел на противоположных гранях игральной кости (кубика) равна 7. Игральная кость последовательно перекатывается по указанной на рисунке траектории.

После перекатывания кубик оказался в следующем положении:

Какая цифра окажется на верхней грани кубика, когда он переместится в финишную позицию?

Ответ: 3

2.3. Сумма чисел на противоположных гранях игральной кости (кубика) равна 7. Игральная кость последовательно перекатывается по указанной на рисунке траектории.

После перекатывания кубик оказался в следующем положении:

Какая цифра окажется на верхней грани кубика, когда он переместится в финишную позицию?

Ответ: 5

2.4. Сумма чисел на противоположных гранях игральной кости (кубика) равна 7. Игральная кость последовательно перекатывается по указанной на рисунке траектории.

После перекатывания кубик оказался в следующем положении:

Какая цифра окажется на верхней грани кубика, когда он переместится в финишную позицию?

Ответ: 4

Во сколько раз число a больше числа b?

Ответ: 8

Во сколько раз число a больше числа b?

Ответ: 4

Во сколько раз число a больше числа b?

Ответ: 2

Во сколько раз число a больше числа b?

Ответ: 2

Задание 4. В комнате по кругу стоят 27 стульев. Организаторы квеста прикрепили одинаковые секретные записки на какие-то два из них, не стоящие рядом. Сколькими способами они могли это сделать?

Ответ: 324

4.2. В комнате по кругу стоят 24 стула. Организаторы квеста прикрепили одинаковые секретные записки на какие-то два из них, не стоящие рядом. Сколькими способами они могли это сделать?

Ответ: 252

4.3. В комнате по кругу стоят 25 стульев. Организаторы квеста прикрепили одинаковые секретные записки на какие-то два из них, не стоящие рядом. Сколькими способами они могли это сделать?

Ответ: 275

4.4. В комнате по кругу стоят 28 стульев. Организаторы квеста прикрепили одинаковые секретные записки на какие-то два из них, не стоящие рядом. Сколькими способами они могли это сделать?

Ответ: 350

Задание 5. В равнобедренном треугольнике один угол в два раза больше другого. Чему может быть равен угол между биссектрисами треугольника, исходящими из вершин углов при основании? Выберите все подходящие варианты:

5.2. В равнобедренном треугольнике один угол в два раза больше другого. Чему может быть равен угол между биссектрисами треугольника, исходящими из вершин его неравных углов? Выберите все подходящие варианты:

5.3. В равнобедренном треугольнике один угол в четыре раза больше другого. Чему может быть равен угол между биссектрисами треугольника, исходящими из вершин его неравных углов? Выберите все подходящие варианты:

5.4. В равнобедренном треугольнике один угол в четыре раза больше другого. Чему может быть равен угол между биссектрисами треугольника, исходящими из вершин углов при основании? Выберите все подходящие варианты:

Задание 6. Между посёлками Айтово и Байтово курсируют автобусы, путь в одну сторону занимает 2 часа. Из Айтово автобусы отправляются в 8:00, 8:30, 9:00 и далее каждые полчаса до 20:00, а из Байтово — в 8:10, 8:40 и также далее каждые полчаса до 20:10. Сколько встречных автобусов увидит пассажир, выехавший на автобусе из Айтово в Байтово в 9:00?

6.2. Между посёлками Айтово и Байтово курсируют автобусы, путь в одну сторону занимает 3 часа. Из Айтово автобусы отправляются в 8:00, 8:40, 9:20 и далее каждые сорок минут до 20:00, а из Байтово — в 7:50, 8:30 и далее каждые сорок минут до 19:50. Сколько встречных автобусов увидит пассажир, выехавший на автобусе из Айтово в Байтово в 9:20?

6.3. Между посёлками Айтово и Байтово курсируют автобусы, путь в одну сторону занимает 3 часа. Из Айтово автобусы отправляются в 8:00, 8:40, 9:20 и далее каждые сорок минут до 20:00, а из Байтово — в 7:50, 8:30 и далее каждые сорок минут до 19:50. Сколько встречных автобусов увидит пассажир, выехавший на автобусе из Айтово в Байтово в 10:00?

6.4. Между посёлками Айтово и Байтово курсируют автобусы, путь в одну сторону занимает 2 часа. Из Айтово автобусы отправляются в 8:00, 8:30, 9:00 и далее каждые полчаса до 20:00, а из Байтово — в 8:10, 8:40 и также далее каждые полчаса до 20:10. Сколько встречных автобусов увидит пассажир, выехавший на автобусе из Айтово в Байтово в 8:30?

Задание 7. В городе Идеальном 42 квартала: они расположены в виде прямоугольника 7×6. Торговая сеть «У дома» хочет открыть в некоторых кварталах магазины, при этом в каждом квартале может быть только один магазин, а в соседних (имеющих общую сторону) кварталах магазинов одновременно быть не должно. При этом в любом районе из девяти кварталов, образующих квадрат 3×3, должно быть хотя бы два магазина. Какое наименьшее и какое наибольшее количество магазинов может быть открыто этой сетью в Идеальном?

7.2. В городе Идеальном 63 квартала: они расположены в виде прямоугольника 7 × 9. Торговая сеть «У дома» хочет открыть в некоторых кварталах магазины, при этом в каждом квартале может быть только один магазин, а в соседних (имеющих общую сторону) кварталах магазинов одновременно быть не должно. При этом в любом районе из девяти кварталов, образующих квадрат 3 × 3, должно быть хотя бы два магазина. Какое наименьшее и какое наибольшее количество магазинов может быть открыто этой сетью в Идеальном?

7.3. В городе Идеальном 49 кварталов: они расположены квадратом 7 × 7. Торговая сеть «У дома» хочет открыть в некоторых кварталах магазины, при этом в каждом квартале может быть только один магазин, а в соседних (имеющих общую сторону) кварталах магазинов одновременно быть не должно. При этом в любом районе из девяти кварталов, образующих квадрат 3 × 3, должно быть хотя бы два магазина. Какое наименьшее и какое наибольшее количество магазинов может быть открыто этой сетью в Идеальном?

7.4. В городе Идеальном 81 квартал: они расположены квадратом 9×9. Торговая сеть «У дома» хочет открыть в некоторых кварталах магазины, при этом в каждом квартале может быть только один магазин, а в соседних (имеющих общую сторону) кварталах магазинов одновременно быть не должно. При этом в любом районе из шестнадцати кварталов, образующих квадрат 4×44×4, должно быть хотя бы два магазина. Какое наименьшее и какое наибольшее количество магазинов может быть открыто этой сетью в Идеальном?

Задание 8. В буфете продаются только булочки по 19 рублей и пирожки по 24 рубля. Выручка буфета за день составила 1750 рублей. Сколько могли продать булочек и пирожков вместе взятых?

Выберите все подходящие варианты:

8.2. В буфете продаются только булочки по 14 рублей и пирожки по 19 рублей. Выручка буфета за день составила 1200 рублей. Сколько могли продать булочек и пирожков вместе взятых? Выберите все подходящие варианты:

8.3. В буфете продаются только булочки по 14 рублей и пирожки по 24 рубля. Выручка буфета за день составила 1100 рублей. Сколько могли продать булочек и пирожков вместе взятых? Выберите все подходящие варианты:

8.4. В буфете продаются только булочки по 14 рублей и пирожки по 19 рублей. Выручка буфета за день составила 1000 рублей. Сколько могли продать булочек и пирожков вместе взятых? Выберите все подходящие варианты:

Задание 1. Петя и Боря проживают на улице Круглая, которая расположена вокруг озера. Каждый из них взял план города и пронумеровал дома на улице Круглой по часовой стрелке: 1, 2, …, начав отсчёт от своего дома, которому присвоил номер 1. Оказалось, что дом, который на плане у Пети имеет номер 6, у Бори обозначен номером 15 и наоборот — дом, который на плане у Бори имеет номер 6, у Пети обозначен номером 15. Сколько всего домов на улице Круглой?

Ответ: 18

1.2. Петя и Боря проживают на улице Круглая, которая расположена вокруг озера. Каждый из них взял план города и пронумеровал дома на улице Круглой по часовой стрелке: 1, 2, …, начав отсчёт от своего дома, которому присвоил номер 1. Оказалось, что дом, который на плане у Пети имеет номер 5, у Бори обозначен номером 12 и наоборот — дом, который на плане у Бори имеет номер 5, у Пети обозначен номером 12. Сколько всего домов на улице Круглой?

Ответ: 14

1.3. Петя и Боря проживают на улице Круглая, которая расположена вокруг озера. Каждый из них взял план города и пронумеровал дома на улице Круглой по часовой стрелке: 1, 2, …, начав отсчёт от своего дома, которому присвоил номер 1. Оказалось, что дом, который на плане у Пети имеет номер 6, у Бори обозначен номером 14 и наоборот — дом, который на плане у Бори имеет номер 6, у Пети обозначен номером 14. Сколько всего домов на улице Круглой?

Ответ: 16

1.4. Петя и Боря проживают на улице Круглая, которая расположена вокруг озера. Каждый из них взял план города и пронумеровал дома на улице Круглой по часовой стрелке: 1, 2, …, начав отсчёт от своего дома, которому присвоил номер 1. Оказалось, что дом, который на плане у Пети имеет номер 5, у Бори обозначен номером 13 и наоборот — дом, который на плане у Бори имеет номер 5, у Пети обозначен номером 13. Сколько всего домов на улице Круглой?

Ответ: 16

Задание 2. На основании AC треугольника ABC выбрана точка N. Оказалось, что угол BNC в два раза больше угла BAC, а угол BNA в два раза больше угла BCA. Найдите длину отрезка BN, если AB = 4, CB = 6. В ответ запишите полученное значение, возведённое в квадрат.

Ответ: 13

2.2. На основании AC треугольника ABC выбрана точка N. Оказалось, что угол BNC в два раза больше угла BAC, а угол BNA в два раза больше угла BCA. Найдите длину отрезка BN, если AB = 8, CB = 10. В ответ запишите полученное значение, возведённое в квадрат.

Ответ: 41

2.3. На основании АС треугольника АВС выбрана точка N. Оказалось, что угол BNC в два раза больше угла BAC, а угол BNA в два раза больше угла BCA. Найдите длину отрезка BN, если *AB = 8*, *CB = 12*. В ответ запишите полученное значение, возведённое в квадрат.

Ответ: 52

2.4. На основании АС треугольника АВС выбрана точка N. Оказалось, что угол BNC в два раза больше угла BAC, а угол BNA в два раза больше угла BCA. Найдите длину отрезка BN, если AB = 6, CB = 10. В ответ запишите полученное значение, возведённое в квадрат.

Ответ: 34

Задание 3. Сколько единиц участвует в десятичной записи 1001001-значного числа

121122111222111122221…111…11222…22 …?

Ответ: 500501

3.2. Сколько единиц участвует в десятичной записи 1001004-значного числа 121122111222111122221…111…11222…22…?

Ответ: 500504

3.3. Сколько единиц участвует в десятичной записи 1001003-значного числа

121122111222111122221…111…11222…22 …?

Ответ: 500503

3.4. Сколько единиц участвует в десятичной записи 1001002-значного числа

121122111222111122221…111…11222…22 …?

Ответ: 500502

Задание 4. Сумма двух дробей z/x и y/3 (x, y, z — натуральные числа) равна 7/13. Какое наименьшее значение может принимать z?

Ответ: 8

4.2. Сумма двух дробей z/x и y/2 (x, y, z — натуральные числа) равна 8/11. Какое наименьшее значение может принимать z?

Ответ: 5

4.3. Сумма двух дробей z/x и y/2 (x, y, z — натуральные числа) равна 10/13. Какое наименьшее значение может принимать z?

Ответ: 7

4.4. Сумма двух дробей z/x и y/3 (x, y, z — натуральные числа) равна 5/11. Какое наименьшее значение может принимать z?

Ответ: 4

Задание 5. Уравнение (x^2 — ax + b)(x^2 — (a + 96)x + b) = 0 имеет 4 корня, являющиеся последовательными степенями двойки (например, 2^7, 2^8, 2^9, 2^10). На какую наибольшую степень двойки может делиться произведение ab?

→ Получить ответы

5.2. Уравнение (x^2 — ax + b)(x^2 — (a + 48)x + b) = 0 имеет 4 корня, являющиеся последовательными степенями двойки (например, 2^7, 2^8, 2^9, 2^10). На какую наибольшую степень двойки может делиться произведение ab?

5.3. Уравнение (x^2 — ax + b)(x^2 — (a + 192)x + b) = 0 имеет 4 корня, являющиеся последовательными степенями двойки (например, 2^7, 2^8, 2^9, 2^10). На какую наибольшую степень двойки может делиться произведение ab?

→ Получить ответы

5.4. Уравнение (x^2 — ax + b)(x^2 — (a + 24)x + b) = 0 имеет 4 корня, являющиеся последовательными степенями двойки (например, 2^7, 2^8, 2^9, 2^10). На какую наибольшую степень двойки может делиться произведение ab?

Задание 6. Два велосипедиста ехали с постоянными скоростями в течение получаса, и за это время второй велосипедист проехал на 6 км больше, чем первый. Затем они продолжили движение, сохранив свои скорости, и каждый ехал дополнительно столько минут, сколько километров он уже проехал. В итоге второй велосипедист за всё время движения проехал на 10 км больше, чем первый. Найдите скорость второго велосипедиста. Ответ выразите в км/ч.

→ Получить ответы

6.2. Два велосипедиста ехали с постоянными скоростями в течение получаса, и за это время второй велосипедист проехал на 6 км больше, чем первый. Затем они продолжили движение, сохранив свои скорости, и каждый ехал дополнительно столько минут, сколько километров он уже проехал. В итоге второй велосипедист за всё время движения проехал на 8 км больше, чем первый. Найдите скорость второго велосипедиста. Ответ выразите в км/ч.

6.3. Два велосипедиста ехали с постоянными скоростями в течение получаса, и за это время второй велосипедист проехал на 3 км больше, чем первый. Затем они продолжили движение, сохранив свои скорости, и каждый ехал дополнительно столько минут, сколько километров он уже проехал. В итоге второй велосипедист за всё время движения проехал на 5 км больше, чем первый. Найдите скорость второго велосипедиста. Ответ выразите в км/ч.

→ Получить ответы

6.4. Два велосипедиста ехали с постоянными скоростями в течение получаса, и за это время второй велосипедист проехал на 6 км больше, чем первый. Затем они продолжили движение, сохранив свои скорости, и каждый ехал дополнительно столько минут, сколько километров он уже проехал. В итоге второй велосипедист за всё время движения проехал на 9 км больше, чем первый. Найдите скорость второго велосипедиста. Ответ выразите в км/ч.

Задание 7. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Две прямые, делящие углы между диагоналями AC и BD пополам, пересекают: одна — стороны AB и CD в точках M и K, вторая — стороны BC и DA в точках N и L. Найдите отношение MN : KL, если известно, что OA : OB : OC : OD = 2 : 3 : 2 : 7.

→ Получить ответы

7.2. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Две прямые, делящие углы между диагоналами AC и BD пополам, пересекают: одна — стороны AB и CD в точках M и K, вторая — стороны BC и DA в точках N и L. Найдите отношение MN : KL, если известно, что OA : OB : OC : OD = 2 : 3 : 2 : 4.

7.3. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Две прямые, делящие углы между диагоналами AC и BD пополам, пересекают: одна — стороны AB и CD в точках M и K, вторая — стороны BC и DA в точках N и L. Найдите отношение MN : KL, если известно, что OA : OB : OC : OD = 2 : 3 : 2 : 5.

→ Получить ответы

7.4. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Две прямые, делящие углы между диагоналами AC и BD пополам, пересекают: одна — стороны AB и CD в точках M и K, вторая — стороны BC и DA в точках N и L. Найдите отношение MN : KL, если известно, что OA : OB : OC : OD = 2 : 3 : 2 : 6.

Задание 8. Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1×1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой клетки посчитали количество её соседей (соседними называются две клетки, имеющие общую сторону). Все посчитанные числа сложили и получили сумму 246. Найдите периметр прямоугольника.

→ Получить ответы

8.2. Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1×1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой клетки посчитали количество её соседей (соседними называются две клетки, имеющие общую сторону). Все посчитанные числа сложили и получили сумму 322. Найдите периметр прямоугольника.

8.3. Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1 × 1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой клетки посчитали количество её соседей (соседними называются две клетки, имеющие общую сторону). Все посчитанные числа сложили и получили сумму 186. Найдите периметр прямоугольника.

→ Получить ответы

8.4. Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1 × 1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой клетки посчитали количество её соседей (соседними называются две клетки, имеющие общую сторону). Все посчитанные числа сложили и получили сумму 220. Найдите периметр прямоугольника.