Муниципальный этап ВсОШ по Математике 23 регион 5-11 класс (13.11.2025)

Задание 1. Дама сдавала в багаж рюкзак, чемодан, саквояж, корзину. Чемодан весит больше, чем рюкзак. Саквояж и рюкзак вместе весят больше, чем чемодан и корзина вместе, а корзина и саквояж вместе весят столько же, сколько чемодан и рюкзак. Какая из вещей самая тяжелая, а какая самая легкая?

→ Получить ответы

Задание 2. Среди 4 монет одна фальшивая. Масса настоящих монет – по 5 г. Фальшивая отличается весом, однако неизвестно легче она или тяжелее настоящей. Есть ещё одна гиря весом 5 г. За какое минимальное число взвешиваний на чашечных весах без гирь Вы сможете найти фальшивую монету?

→ Получить ответы

Задание 3. Можно ли числа от 1 до 23 разбить на две группы так, что сумма чисел в одной группе на 23 больше суммы чисел в другой группе?

→ Получить ответы

Задание 4. Часы неисправны, но стрелки движутся равномерно. На сколько часов они спешат или отстают за сутки, если трижды в сутки показывают правильное время?

→ Получить ответы

Задание 5. Какое наибольшее частное может получиться при делении трёхзначного числа на его сумму цифр?

Задание 1. Есть 6 прутьев длиной 1 метр каждый. Можно ли их распилить на 10 прутьев длиной по 27 см, 12 прутьев длиной по 15 см и 25 прутьев длиной по 6 см?

→ Получить ответы

Задание 2. Найдите все двузначные числа М такие, что любая степень М оканчивается двумя цифрами, составляющими число М.

→ Получить ответы

Задание 3. Все жители города ПРАВДИНО всегда говорят правду, все жители города БРЕХНЯЕВО всегда лгут. Жители ПРАВДИНО любят посещать БРЕХНЯЕВО, жители БРЕХНЯЕВО любят посещать ПРАВДИНО. Путешественник попал в один из этих городов, но никак не может вспомнить в какой. Навстречу ему идёт первый встречный. Как путешественнику задать один вопрос и определить в какой город он попал?

→ Получить ответы

Задание 4. Общий вес нескольких ящиков груза равен 10 т, вес каждого ящика не превышает 1 т. Какое наименьшее количество грузовиков трёхтонок надо, чтобы вывезти весь груз за один раз?

→ Получить ответы

Задание 5. В клетки квадратной таблицы размером 7×7 вписаны числа от 1 до 7, в каждой строке и в каждом столбце имеются все числа от 1 до 7. Кроме того, таблица заполнена числами симметрично относительно одной из своих главных диагоналей. Докажите, что на этой диагонали есть все числа от 1 до 7.

Задание 1. Шеренга десятиклассников и шеренга семиклассников построены так, что перед каждым десятиклассником стоит семиклассник ниже его ростом. Докажите, что если в каждой шеренге построить школьников по росту, то и в этом случае перед каждым десятиклассником стоит семиклассник ниже его ростом.

→ Получить ответы

Задание 2. Квадратная доска размером 6×6 покрыта 18 косточками домино (каждая косточка покрывает две клетки). Докажите, что независимо от способа расстановки косточек домино всегда можно разрезать доску по горизонтальной или по вертикальной прямой, не повредив ни одной косточки домино.

→ Получить ответы

Задание 3. Найдите два числа, наименьшее общее кратное которых равно 975,а сумма частных от деления на каждого из них на их наибольший общий делитель равна 18.

→ Получить ответы

Задание 4. Решите ребус: forty+ten+ten=sixty Одинаковые буквы заменяют одинаковые цифры, различные буквы заменяют различные цифры.

Задание 1. Найдите двузначное число, куб суммы цифр которого равен его квадрату.

Задание 2. Существует ли такое трёхзначное число

что сумма

является точным квадратом?

Задание 3. В футбольном турнире 20 команд сыграли 8 туров, каждая команда сыграла с 8 различными командами. Докажите, что найдутся три команды, пока не сыгравшие между собой ни одного матча.

Задание 4. По кругу выстроены 20 чисел, причем, сумма любых трёх стоящих подряд равна нулю. Найдите эти числа.

Задание 5. Вычислите углы треугольника, в котором медиана и высота проведенные из одной вершины, делят угол на три равные части.

адание 1. Найдите наименьшее четырёхзначное число такое, что если в середину этого числа записать любую ненулевую цифру, то полученное пятизначное число будет делиться на эту цифру.

→ Получить ответы

Задание 2. Квадратный трёхчлен p(x)=ax2+bx+c (a b c — целые числа, c — нечётное число) имеет целые корни. Может ли быть нечётным числом?

→ Получить ответы

Задание 3. На столе лежит 2025 монет. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За ход первый может взять со стола любое нечётное число монет от 1 до 99, второй — любое чётное число монет от 2 до 100. Выигрывает тот, кто сделал последний ход. Кто выигрывает при правильной игре?

→ Получить ответы

Задание 4. Точка D — середина стороны AC треугольника ABC, а отрезки DE и DF — биссектрисы треугольников ABD и CBD. Отрезки BD и EF пересекаются в точке M. Докажите, что. DM=1/2 EF

→ Получить ответы

Задание 5. Сумма четырёх натуральных чисел равна 111111. Какое наименьшее значение может принимать их НОК?

Задание 1. Можно ли расставить каждое из чисел 1, 2, 3, …, 20 по одному разу в вершинах и серединах рёбер куба так, чтобы каждое число, стоящее в середине ребра, равнялось полусумме чисел на концах этого ребра?

→ Получить ответы

Задание 2. Биссектрисы AD, BE и CF треугольника ABC пересекаются в точке I. Докажите, что если треугольники BIF и BID имеют равные площади, то треугольник ABC равнобедренный.

→ Получить ответы

Задание 3. Про 20 последовательных натуральных чисел N+1,N+2,…,N+20 известно, что сумма 11 наименьших из них делится на 9, а сумма 9 наибольших из них делится на 11. При каком наименьшем N такое возможно?

→ Получить ответы

Задание 4. Дан треугольник со сторонами a,a,b, периметром P и площадью S. Известно, что b и P — целые, а числа P и S связаны равенством P=S^2. Найдите все возможные пары (a,b).

→ Получить ответы

Задание 5. Внутри правильного треугольника со стороной 5 расположены 76 точек. Докажите, что можно так выбрать круг радиуса 1/√3, что он будет накрывать не менее 4 из этих точек.

Задание 1. Каждое из n последовательных натуральных чисел не содержит 0 и не делится ни на одну из своих цифр. При каком наибольшем n это возможно?

→ Получить ответы

Задание 2. Найдите минимальное значение выражения (x^2-4x+3)(x^2+4x+3).

→ Получить ответы

Задание 3. Имеется неограниченное число фишек шести цветов. Какое наименьшее число фишек нужно расположить в ряд так, чтобы для любых двух различных цветов в ряду нашлись две соседние фишки этих цветов?

→ Получить ответы

Задание 5. Пусть H — точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC, D — середина стороны AC. Прямая, проходящая через H перпендикулярно отрезку DH, пересекает стороны AB и BC в точках E и F. Докажите, что HE=HF.