08.11.2025 — ВСОШ Муниципальный этап по Математике: задания и ответы для 31 региона
Авторские решения к этой работе доступны для покупки на нашем сайте:
Рассмотрим задания и ответы по Математике для 7–11 классов:
Навигация
7 класс
Задание 1. Найдите четыре целых числа таких, что их сумма равна нулю, а
произведение равно 2025.
произведение равно 2025.
Задание 2. В кошельке лежали 10 монет достоинством 5 и 10 рублей. Семь ребят
разобрали все монеты, причём каждый взял либо одну монету, либо две. Если
кто-то брал две монеты, то это были монеты разного достоинства. Известно,
что у Пети в итоге оказалось меньше денег, чем у любого другого ребёнка.
Какая сумма могла лежать в кошельке?
разобрали все монеты, причём каждый взял либо одну монету, либо две. Если
кто-то брал две монеты, то это были монеты разного достоинства. Известно,
что у Пети в итоге оказалось меньше денег, чем у любого другого ребёнка.
Какая сумма могла лежать в кошельке?
8 класс
Задание 1. 8.1. Из цифр 0, 1, 2, ..., 9 составили два пятизначных числа А и В (все цифры
использованы, на 0 число начинаться не может). Может ли оказаться так, что
число А делится на каждую цифру числа В, кроме 0, а число В делится на
каждую цифру числа А?
использованы, на 0 число начинаться не может). Может ли оказаться так, что
число А делится на каждую цифру числа В, кроме 0, а число В делится на
каждую цифру числа А?
Задание 2. Среди 22 человек 11 лжецов (они всегда лгут) и 11 рыцарей (они всегда
говорят правду). Каждому из них дали конверт, причём ровно в 11 из них
положили открытку. У людей спросили, есть ли у них в конверте открытка.
Могло ли оказаться, что 11 из них ответили «да», а 11 ответили «нет»?
говорят правду). Каждому из них дали конверт, причём ровно в 11 из них
положили открытку. У людей спросили, есть ли у них в конверте открытка.
Могло ли оказаться, что 11 из них ответили «да», а 11 ответили «нет»?
9 класс
Задание 1. Среди 32 человек 16 лжецов (они всегда лгут) и 16 рыцарей (они всегда
говорят правду). Некоторым из них дали монеты, причём каждому – не более
3 монет. После чего у каждого из людей спросили: «Сколько тебе дали монет?».
Было получено 8 ответов «0», 8 ответов «1», 8 ответов «2» и 8 ответов «3».
Какое наибольшее количество монет могли суммарно дать всем этим 32
людям?
говорят правду). Некоторым из них дали монеты, причём каждому – не более
3 монет. После чего у каждого из людей спросили: «Сколько тебе дали монет?».
Было получено 8 ответов «0», 8 ответов «1», 8 ответов «2» и 8 ответов «3».
Какое наибольшее количество монет могли суммарно дать всем этим 32
людям?
Задание 2. Существуют ли 18 последовательных натуральных чисел таких, что и
суммы цифр этих чисел образуют 18 последовательных натуральных чисел (не
обязательно записанных по порядку)?
суммы цифр этих чисел образуют 18 последовательных натуральных чисел (не
обязательно записанных по порядку)?
10 класс
Задание 1. На доску выписывают последовательность цифр
121122111222111122221... Сколько единиц будет записано на позициях с 1 по
10101 включительно, считая слева?
121122111222111122221... Сколько единиц будет записано на позициях с 1 по
10101 включительно, считая слева?
Задание 2. На городских соревнованиях по велосипедному спорту была придумана
следующая схема проведения заездов: спортсмены вначале все едут
одинаковое время – полчаса, а затем без остановки – дополнительное время,
начисляемое по правилу: каждый получает в заезде дополнительное
количество минут, равное расстоянию, которое он проехал за первые полчаса,
измеренному в км. При подведении итогов выяснилось, что Василий за первые
полчаса проехал на 6 км больше, чем Алексей, а по окончании заездов – на 11
км больше, чем Алексей. Найдите скорости езды Василия и Алексея, если эти
скорости были постоянными.
следующая схема проведения заездов: спортсмены вначале все едут
одинаковое время – полчаса, а затем без остановки – дополнительное время,
начисляемое по правилу: каждый получает в заезде дополнительное
количество минут, равное расстоянию, которое он проехал за первые полчаса,
измеренному в км. При подведении итогов выяснилось, что Василий за первые
полчаса проехал на 6 км больше, чем Алексей, а по окончании заездов – на 11
км больше, чем Алексей. Найдите скорости езды Василия и Алексея, если эти
скорости были постоянными.
11 класс
Задание 1. Среди 14 человек 7 лжецов (они всегда лгут) и 7 рыцарей (они всегда
говорят правду). Каждому из них дали конверт, причём ровно в 7 из них
положили открытку. У людей спросили, есть ли у них в конверте открытка.
Могло ли оказаться, что 7 из них ответили «да», а 7 ответили «нет»?
говорят правду). Каждому из них дали конверт, причём ровно в 7 из них
положили открытку. У людей спросили, есть ли у них в конверте открытка.
Могло ли оказаться, что 7 из них ответили «да», а 7 ответили «нет»?
Задание 2. Дана тройка последовательных неоднозначных простых чисел таких, что
их среднее арифметическое – также простое число. Докажите, что эти числа
образуют арифметическую прогрессию, разность которой делится на 6.
их среднее арифметическое – также простое число. Докажите, что эти числа
образуют арифметическую прогрессию, разность которой делится на 6.
Часть ответов по ВсОШ публикуется бесплатно в нашем Telegram-канале: @shcolaotvet
