14.10.2025 — ВСОШ Школьный этап по Математике 7-11 класс: задания и ответы для 77 региона
Авторские решения к этой работе доступны для покупки на нашем сайте:
Сегодня рассмотрим задания и решения по Математике для 7–11 классов:
Навигация
10 класс
Задание1. Найдите максимальное натуральное число n > 100 — такое, что при стирании двух последних цифр оно уменьшается ровно в 115 раз.
Ответ: 690
Задание 1.2. Найдите максимальное натуральное число n > 100 — такое, что при стирании двух последних цифр оно уменьшается ровно в 113 раз.
Ответ: 791
Задание 1.3. Найдите максимальное натуральное число n > 100 — такое, что при стирании двух последних цифр оно уменьшается ровно в 114 раз.
Ответ: 798
Задание 1.4. Найдите максимальное натуральное число n > 100 — такое, что при стирании двух последних цифр оно уменьшается ровно в 112 раз.
Ответ: 896
Задание 2. В конкурсе участвовало несколько танцевальных пар. Каждый пожал руку всем остальным, кроме себя и своего партнёра. Всего было сделано 80400 рукопожатий. Сколько было пар?
Ответ: 201
Задание 2.2 В конкурсе участвовало несколько танцевальных пар. Каждый пожал руку всем остальным, кроме себя и своего партнёра. Всего было сделано 20200 рукопожатий. Сколько было пар?
Ответ: 101
Задание 3. Последовательность целых чисел {xn} такова, что х1 = 1300 и n+1 = 2, 7 для всех n > 1. Найдите такое минимальное n, что х+2= n.
Ответ: 186
Ответ: 143
Задание 4. На праздновании Нового года 46 школьников встали в хоровод. Каждую минуту один из школьников, которому не дарили подарков и который не дарил подарок, дарит подарок одному из двух ближайших слева соседей. Можно дарить подарок школьнику, у которого уже есть подарок. Когда каждый школьник подарил или получил хотя бы один подарок, обмен подарками заканчивается. Какое максимальное количество школьников могло получить подарки? Какое минимальное количество школьников могло получить подарки?
Ответ: 46 и 1
Задание 4.2. На праздновании Нового года 40 школьников встали в хоровод. Каждую минуту один из школьников, которому не дарили подарков и который не дарил подарок, дарит подарок одному из двух ближайших слева соседей. Можно дарить подарок школьнику, у которого уже есть подарок. Когда каждый школьник подарил или получил хотя бы один подарок, обмен подарками заканчивается. Какое максимальное количество школьников могло получить подарки?
Ответ: 39 и 1
Задание 4.3. На праздновании Нового года 43 школьника встали в хоровод. Каждую минуту один из школьников, которому не дарили подарков и который не дарил подарок, дарит подарок одному из двух ближайших слева соседей. Можно дарить подарок школьнику, у которого уже есть подарок. Когда каждый школьник подарил или получил хотя бы один подарок, обмен подарками заканчивается. Какое максимальное количество школьников могло получить подарки?
Ответ: 42 и 1
Задание 5. В описанном четырёхугольнике ABCD оказалось, что ABC = ACD = 90°, AB = 7, BC =5. Найдите CD.
Ответ: 7
Задание 5.2. В описанном четырёхугольнике ABCD оказалось, что ABC = ACD = 90°, AB = 5, BC = 3. Найдите CD.
Ответ: 5
Задание 6. Каждый член последовательности натуральных чисел, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, а восьмой член равен 2613. Сколько существует таких последовательностей? Чему равен второй член последовательности, если первый равен 13?
Ответ: 1 такая последовательность и второй член равен 193
Задание 6.2. Каждый член последовательности натуральных чисел, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, а восьмой член равен 650. Сколько существует таких последовательностей? Чему равен второй член последовательности, если первый равен 13?
Задание 6.3. Каждый член последовательности натуральных чисел, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, а восьмой член равен 3900. Сколько существует таких последовательностей? Чему равен второй член последовательности, если первый равен 13?
Задание 6.4. Каждый член последовательности натуральных чисел, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, а восьмой член равен 1313. Сколько существует таких последовательностей? Чему равен второй член последовательности, если первый равен 13?
Задание 7. Дан вписанный четырёхугольник АBCD. Оказалось, что касательная в точке D к описанной окружности параллельна биссектрисе угла АВС. При этом /ABD = 10° DBC = 92°. Найдите ВСА. Ответ выразите в градусах.
Задание 7.2. Дан вписанный четырёхугольник АBCD. Оказалось, что касательная в точке D к описанной окружности параллельна биссектрисе угла АВС. При этом ABD = 13° и DBC = 93°. Найдите ВСА. Ответ выразите в градусах.
Задание 7.3. Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Оказалось, что касательная в точке D к описанной окружности параллельна биссектрисе угла АВС. При этом ABD = 12° DBC = 96°. Найдите ДВСА. Ответ выразите в градусах.
Задание 8. В ряд стоят 32 ящика, пронумерованных слева направо числами от 1 до 32. В ящиках с нечётными номерами лежит по 45 шариков, с чётными — по 46. За одну операцию разрешается выбрать не крайний справа ящик с нечётным количеством шариков и переложить один шарик из него в соседний справа ящик. Если никакую операцию сделать невозможно, процесс заканчивается. Через какое минимальное количество операций мог закончиться процесс? Через какое максимальное количество операций мог закончиться процесс?
Задание 8.2. В ряд стоят 24 ящика, пронумерованных слева направо числами от 1 до 24. В ящиках с нечётными номерами лежит по 45 шариков, с чётными — по 46. За одну операцию разрешается выбрать не крайний справа ящик с нечётным количеством шариков И переложить один шарик из него в соседний справа ящик. Если никакую операцию сделать невозможно, процесс заканчивается. Через какое минимальное количество операций мог закончиться процесс?
Задание 8.3. В ряд стоят 20 ящиков, пронумерованных слева направо числами от 1 до 20. В ящиках с нечётными номерами лежит по 45 шариков, с чётными — по 46. За одну операцию разрешается выбрать не крайний справа ящик с нечётным количеством шариков и переложить один шарик из него в соседний справа ящик. Если никакую операцию сделать невозможно, процесс заканчивается. Через какое минимальное количество операций мог закончиться процесс?
Задание 8.4. В ряд стоят 28 ящиков, пронумерованных слева направо числами от 1 до 28. В ящиках нечётными номерами лежит по 45 шариков, с чётными — по 46. За одну операцию разрешается выбрать не крайний справа ящик с нечётным количеством шариков C и переложить один шарик из него в соседний справа ящик. Если никакую операцию сделать невозможно, процесс заканчивается. Через какое минимальное количество операций мог закончиться процесс?
11 класс
Вариант 1
Задание 1. Дана арифметическая прогрессия (а), такая, что a1 + a2 = 11, a1 + a2 +a3+ … + a8 = 164. Найдите а. Найдите разность этой арифметической прогрессии.
Ответ: a=3. Разность прогрессии 5
Задание 2. У Вити есть четыре карточки, на которых написаны числа 1, 2, 4, 7. Он случайным образом cd составляет из них число вида ab. С какой вероятностью это число делится на 3? Выражение ab обозначает двухзначное число, состоящее из цифр a и b.
Ответ: 3/8
Задание 3. Во вписанном четырёхугольнике ABCD отметили точку Е — пересечение лучей AD и ВС — и точку F- пересечение лучей АВ и DC. Оказалось, что CD = DE, АЕВ — 52° и угловые меры дуг ВС и AD находятся в соотношении 1: 4. Найдите угол AFD. Ответ выразите в градусах. Найдите величину малой дуги ВС. Ответ выразите в градусах.
Ответ: AFD=78, BC=26.
Задание 4. Найдите количество пар различных натуральных чисел а, b, таких, что 1 а <b≤ 64 [a] + [b] = [a] + [b]. Напомним, что [2] обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное х, а [x] — наименьшее целое число, большее или равное г.
Ответ: 1568
Задание 5. Дана колода из 300 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 300 (каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя выкладывает карты в прямоугольник 3 х 100 (3 строки, 100 столбцов) так, что числа на картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех чисел на карточках в верхней и нижней строках. Какой максимальной удачности пасьянс может выложить Петя?
Задание 6. Толя задумал два квадратных трёхчлена. Корни первого трёхчлена равны 1 и 2, а один из двух корней второго трёхчлена равен -5. Также известно, что графики трёхчленов пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты (3, 4), а вторая лежит на оси ординат. Найдите ординату второй точки пересечения графиков. Найдите произведение корней второго трёхчлена.
Ответ: 4 и −40
Задание 7. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA, BCD, площадь треугольника ВСС равна 12, треугольника АСС, — 24. Пусть s — площадь треугольника CDC1. Найдите 52. Оказалось, что площадь треугольника АВС равна 31. Чему равна площадь треугольника АВС?
Задание 8. Каждый день в 8:00 Петя выписывает на доску букву а, b или с. Затем каждую минуту он делает одно из следующих действий: приписывает сразу после буквы а букву с приписывает сразу перед буквой в букву с приписывает сразу после буквы с ещё одну букву с; стирает букву с и вписывает на том же месте комбинацию ba. Через 9 минут, получив последовательность из 10 букв, Петя останавливается. Сколько различных последовательностей из 10 букв, в которых ровно 2 буквы с, может получить Петя?
Вариант 2
Задание 1-5
Вариант 3
Задание 1. Дана арифметическая прогрессия (аn), такая, что a1 + a2 = 10, a1 + a2 +a3 +…+ a8 = 88. Найдите а. Найдите разность этой арифметической прогрессии.
Задание 2-4
Задание 5. Дана колода из 600 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 600 (каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя выкладывает карты в прямоугольник 3 х 200 (3 строки, 200 столбцов) так, что числа на картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех чисел на карточках в верхней и нижней строках. Какой максимальной удачности пасьянс может выложить Петя?
Задание 6. Толя задумал два квадратных трёхчлена. Корни первого трёхчлена равны 2 и 4, а один из двух корней второго трёхчлена равен — 3. Также известно, что графики трёхчленов пересекаются в двух точках: одна из них имеет координаты (6, 7), а вторая лежит на оси ординат. Найдите ординату второй точки пересечения графиков. Найдите произведение корней второго трёхчлена.
Задание 8. Каждый день в 8:00 Петя выписывает на доску букву а, в или с. Затем каждую минуту он делает одно из следующих действий: приписывает сразу после буквы а букву с приписывает сразу перед буквой в букву с приписывает сразу после буквы с ещё одну букву с стирает букву с и вписывает на том же месте комбинацию ба. Через 15 минут, получив последовательность из 16 букв, Петя останавливается. Сколько различных последовательностей из 16 букв, в которых ровно 2 буквы с, может получить Петя?
Часть ответов по ВсОШ публикуется бесплатно в нашем Telegram-канале: @shcolaotvet
