Школьный этап ВсОШ по Математике 77 регион 7-9 класс (14.10.2025)

Задание 1. На спортивных соревнованиях по энерджиболу матч длится 60 минут, а на поле одновременно присутствуют 5 игроков. В составе команды «Альфа» 8 игроков. Тренер команды хочет, чтобы все игроки провели на поле одинаковое количество времени. Сколько времени каждый игрок должен провести на поле, если количество замен не ограничено?

Ответ: 37 минут 30 секунд

Задание 2. Площадь квадрата, изображённого на рисунке, равна 320 см². Точка О — центр квадрата, а точка М — середина его стороны. Чему равна площадь серой части?

Ответ: 80 см²

Задание 3. На карте точками обозначены города, а линиями — дороги. Какое наименьшее число дорог нужно добавить, чтобы из городов выходило поровну дорог?

Задание 4. На острове рыцарей и лжецов, где рыцари всегда говорят правду, а лжецы — лгут, встретились четыре жителя — Антон, Иван, Пётр и Богдан. Иван сказал: «Богдан — лжец!». Богдан сказал: «Пётр — рыцарь!». Пётр сказал: «Я знаю точно, что в паре Ивана и Антона один человек рыцарь, а другой лжец». Антон сказал: «Иван — лжец!». Кем является каждый из собеседников?

Ответ: Антон — рыцарь. Иван — лжец. Пётр — рыцарь. Богдан — лжец.

Задание 5. Саша составляет список из 100 чисел по следующему правилу: первое число в списке равно 2028, второе число равно 1, каждое следующее получается так: из последнего записанного числа вычитается предпоследнее и прибавляется 5. Например, третье число равно -2022, потому что 1 — 2028 +5-2022. Найдите сумму 100 первых чисел из списка Саши.

Ответ: −3958

Задание 6. В тетрадь записаны последовательные целые числа от 1 до 110 ручками двух цветов: красной и синей. Оказалось, что наибольшее число, записанное синим цветом, равно количеству чисел, записанных синим цветом. А наименьшее число, записанное красным цветом, равно половине от количества чисел, записанных красным цветом. Сколько чисел записано красным цветом?

Ответ: 74

Задание 7. Имеются пять одинаковых игральных кубиков. На их грани с помощью точек нанесены числа от 1 до 6. Петя выложил кубики в ряд, как показано на рисунке. Используя цифры на верхних гранях слева направо, он составил пятизначное число, произведение цифр которого оказалось кратно 8. Сколько таких пятизначных чисел мог получить Петя, если самый левый кубик всегда лежит так, как показано на рисунке, и обозначает старший разряд числа.

Задание 8. У Кати есть неограниченное количество одинаковых бумажных квадратов и фломастеры четырёх цветов. Она может произвольным образом раскрасить стороны каждого из квадратов в четыре разных цвета и склеить из них прямоугольник по следующему правилу: склеивать можно только края одинакового цвета. При этом у полученного прямоугольника каждая сторона должна быть полностью одного цвета и все его стороны должны быть разных цветов. Прямоугольник какого размера она сможет получить, действуя таким образом? Выберите все подходящие варианты:

Задание 1. На спортивных соревнованиях по энерджиболу матч длится 44 минуты, а на поле одновременно присутствуют 5 игроков. В составе команды «Альфа» 8 игроков. Тренер команды хочет, чтобы все игроки провели на поле одинаковое количество времени. Сколько времени каждый игрок должен провести на поле, если количество замен не ограничено?

Задание 2. Площадь квадрата, изображённого на рисунке, равна 280 см². Точка О — центр квадрата, а точка М — середина его стороны. Чему равна площадь серой части?

Задание 3. На карте точками обозначены города, а линиями — дороги. Какое наименьшее число дорог нужно добавить, чтобы из городов выходило поровну дорог?

Задание 4. На острове рыцарей и лжецов, где рыцари всегда говорят правду, а лжецы — лгут, встретились четыре жителя — Антон, Иван, Пётр и Богдан. Антон сказал: «Иван — лжец!». Иван сказал: «Пётр — рыцарь!». Пётр сказал: «Я знаю точно, что в паре Богдана и Антона один человек рыцарь, а другой лжец». Богдан сказал: «Антон — лжец!». Кем является каждый из собеседников?

Задание 5. Саша составляет список из 100 чисел по следующему правилу: первое число в списке равно 2027, второе число равно 1, каждое следующее получается так: из последнего записанного числа вычитается предпоследнее и прибавляется 5. Например, третье число равно -2021, потому что 1 — 2027 +5 = -2021. Найдите сумму 100 первых чисел из списка Саши.

Задание 6. В тетрадь записаны последовательные целые числа от 1 до 107 ручками двух цветов: красной и синей. Оказалось, что наибольшее число, записанное синим цветом, равно количеству чисел, записанных синим цветом. А наименьшее число, записанное красным цветом, равно половине от количества чисел, записанных красным цветом. Сколько чисел записано красным цветом?

Задание 7. Имеются пять одинаковых игральных кубиков. На их грани с помощью точек нанесены числа от 1 до 6. Петя выложил кубики в ряд, как показано на рисунке. Используя цифры на верхних гранях слева направо, он составил пятизначное число, произведение цифр которого оказалось кратно 9. Сколько таких пятизначных чисел мог получить Петя, если самый левый кубик всегда лежит так, как показано на рисунке, и обозначает старший разряд числа?

Задание 8. У Кати есть неограниченное количество одинаковых бумажных квадратов и фломастеры четырёх цветов. Она может произвольным образом раскрасить стороны каждого из квадратов в четыре разных цвета и склеить из них прямоугольник по следующему правилу: склеивать можно только края одинакового цвета. При этом у полученного прямоугольника каждая сторона должна быть полностью одного цвета и все его стороны должны быть разных цветов. Прямоугольник какого размера она сможет получить, действуя таким образом? Выберите все подходящие варианты:

Задание 1. На спортивных соревнованиях по энерджиболу матч длится 68 минут, а на поле одновременно присутствуют 5 игроков. В составе команды «Альфа» 8 игроков. Тренер команды хочет, чтобы все игроки провели на поле одинаковое количество времени. Сколько времени каждый игрок должен провести на поле, если количество замен не ограничено?

Задание 2. Площадь квадрата, изображённого на рисунке, равна 240 см2. Точка 0 -центр квадрата, а точка М — середина его стороны. Чему равна площадь серой части?

Задание 3. На карте точками обозначены города, а линиями — дороги. Какое наименьшее число дорог нужно добавить, чтобы из городов выходило поровну дорог?

Задание 4. На острове рыцарей и лжецов, где рыцари всегда говорят правду, а лжецы — лгут, встретились четыре жителя — Антон, Иван, Пётр и Богдан. Пётр сказал: «Антон — лжец!». Антон сказал: «Богдан — рыцарь!». Богдан сказал: «Я знаю точно, что в паре Петра и Ивана один человек рыцарь, а другой лжец». Иван сказал: «Пётр — лжец!». Кем является каждый из собеседников?

Задание 5. Саша составляет список из 100 чисел по следующему правилу: первое число в списке равно 2026, второе число равно 1, каждое следующее получается так: из последнего записанного числа вычитается предпоследнее и прибавляется 5. Например, третье число равно -2020, потому что 1 — 2026 +5 = — 2020. Найдите сумму 100 первых чисел из списка Саши.

Задание 6. В тетрадь записаны последовательные целые числа от 1 до 101 ручками двух цветов: красной и синей. Оказалось, что наибольшее число, записанное синим цветом, равно количеству чисел, записанных синим цветом. А наименьшее число, записанное красным цветом, равно половине от количества чисел, записанных красным цветом. Сколько чисел записано красным цветом?

Задание 7. Имеются пять одинаковых игральных кубиков. На их грани с помощью точек нанесены числа от 1 до 6. Петя выложил кубики в ряд, как показано на рисунке. Используя цифры на верхних гранях слева направо, он составил пятизначное число, произведение цифр которого оказалось кратно 27. Сколько таких пятизначных чисел мог получить Петя, если самый левый кубик всегда лежит так, как показано на рисунке, и обозначает старший разряд числа?

Задание 8. У Кати есть неограниченное количество одинаковых бумажных квадратов и фломастеры четырёх цветов. Она может произвольным образом раскрасить стороны каждого из квадратов в четыре разных цвета и склеить из них прямоугольник по следующему правилу: склеивать можно только края одинакового цвета. При этом у полученного прямоугольника каждая сторона должна быть полностью одного цвета и все его стороны должны быть разных цветов. Прямоугольник какого размера она сможет получить, действуя таким образом? Выберите все подходящие варианты.

Задание 1. Однажды в солнечный день Аля пошла гулять на стадион, а Валя — в парк. Аля двигалась в два раза быстрее подруги и прошла в пять раз большее расстояние, чем Валя. Прогулка Али заняла на 45 минут больше, чем прогулка Вали. Сколько времени гуляла Аля? Ответ выразите в минутах.

Задание 1.2. Однажды в солнечный день Аля пошла гулять на стадион, а Валя — в парк. Аля двигалась в полтора раза быстрее подруги и прошла в два раза большее расстояние, чем Валя. Прогулка Али заняла на 40 минут больше, чем прогулка Вали. Сколько времени гуляла Аля? Ответ выразите в минутах.

Задание 1.3. Однажды в солнечный день Аля пошла гулять на стадион, а Валя — в парк. Аля двигалась в два раза быстрее подруги и прошла в полтора раза большее расстояние, чем Валя. Прогулка Али заняла на 35 минут меньше, чем прогулка Вали. Сколько времени гуляла Аля? Ответ выразите в минутах.

Задание 1.4. Однажды в солнечный день Аля пошла гулять на стадион, а Валя — в парк. Аля двигалась в полтора раза быстрее подруги и прошла в четыре раза большее расстояние, чем Валя. Прогулка Али заняла на 3 часа 20 минут больше, чем прогулка Вали. Сколько времени гуляла Аля? Ответ выразите в минутах.

Задание 2. На рисунке выберите несколько из отмеченных точек так, чтобы на каждой из шести прямых было выбрано ненулевое чётное количество точек.

Задание 3. В треугольнике АВС угол В равен 152°, а высота, опущенная из вершины А, в два раза меньше биссектрисы угла А. Найдите угол С. Ответ выразите в градусах.

Задание 3.2. В треугольнике АВС угол В равен 146°, а высота, опущенная из вершины А, в два раза меньше биссектрисы угла А. Найдите угол С. Ответ выразите в градусах.

Задание 3.3. В треугольнике АВС угол В равен 134°, а высота, опущенная из вершины А, в два раза меньше биссектрисы угла А. Найдите угол С. Ответ выразите в градусах.

Задание 3.4. В треугольнике АВС угол В равен 142°, а высота, опущенная из вершины А, в два раза меньше биссектрисы угла А. Найдите угол С. Ответ выразите в градусах.

Задание 4. Таблицу 5 х 5 разбили на 7 частей по линиям сетки так, чтобы клетки внутри одного фрагмента граничили только по горизонтали или по вертикали. В каждой части в одной из клеток написали количество клеток в этом фрагменте. Отметьте на изображении все клетки фрагмента, содержащего выделенную зелёным клетку.

Задание 5. На физкультуре Аля, Беня, Веня, Геша и Дуся встали в одну колонну, причём некоторые встали лицом вперёд, а некоторые — лицом назад. Человек видит всех людей перед собой в колонне в направлении его взгляда. Известно, что: Дусю никто не видит; Беня не видит Гешу, но видит Веню; Геша видит Беню, но не видит Алю; Веня не видит никого; Аля стоит раньше Вени, но не видит его. Определите порядок, в котором стоят дети.

Задание 5.2. На физкультуре Аля, Беня, Веня, Геша и Дуся встали в одну колонну, причём некоторые встали лицом вперёд, а некоторые — лицом назад. Человек видит всех людей перед собой в колонне в направлении его взгляда. Известно, что: Алю никто не видит; Геша не видит Дусю, но видит Беню; Дуся видит Гешу, но не видит Веню; Беня не видит никого; Веня стоит раньше Бени, но не видит его. Определите порядок, в котором стоят дети.

Задание 6. Вася задумал три вещественных числа а, b, с. Оказалось, что три прямые, заданные уравнениями у = ах + 5, y = bx + 7 и у сx + 9, пересекаются в одной точке. Найдите значение в, если известно, что а + c = 39.

Задание 6.2. Вася задумал три вещественных числа а, b, с. Оказалось, что три прямые, заданные уравнениями у — а + 3, y= x + 7 и у = с + 11, пересекаются в одной точке. Найдите значение в, если известно, что а + c = 51.

Задание 6.3. Вася задумал три вещественных числа а, b, с. Оказалось, что три прямые, заданные уравнениями у = ах + 1, y = x + 6 и у = cx + 11, пересекаются в одной точке. Найдите значение b, если известно, что а + с = 73.

Задание 6.4. Вася задумал три вещественных числа а, b, с. Оказалось, что три прямые, заданные уравнениями у — аx + 2, y= x + 5 и у = с + 8, пересекаются в одной точке. Найдите значение b, если известно, что а + с = 67.

Задание 7. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А. На плоскости нашлась точка Х, для которой АВ — ВХ и АХ = ХС. Чему может быть равен угол ВАХ, если угол ВХС равен 117? Ответ выразите в градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Задание 7.2. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А. На плоскости нашлась точка Х для которой АВ — ВХ и АХ — ХС. Чему может быть равен угол ВАХ, если угол ВХС равен 1080? Ответ выразите в градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Задание 7.3. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А. На плоскости нашлась точка Х, для которой АВ ВX и AX = ХС. Чему может быть равен угол ВАХ, если угол ВХС равен 138°? Ответ выразите в градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Задание 7.4. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А. На плоскости нашлась точка Х, для которой АВ — ВХ и АХ = ХС. Чему может быть равен угол ВАХ, если угол ВХС равен 123°? Ответ выразите в градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Задание 8. В турнире онлайн-игры участвуют 256 персонажей. В каждом из 8 раундов персонажи разбиваются на пары, сражаются между собой, победитель проходит дальше. Изначально уровни персонажей были равны 1, 2,…, 256. В битве всегда побеждает персонаж с большим уровнем, а если уровни одинаковы, может победить любой. После каждого тура уровень персонажа может измениться на 1 в ту или иную сторону, а может остаться прежним. Персонаж с каким наименьшим стартовым уровнем мог победить в турнире?

Задание 8.2. В турнире онлайн-игры участвуют 64 персонажа. В каждом из 6 раундов персонажи разбиваются на пары, сражаются между собой, победитель проходит дальше. Изначально уровни персонажей были равны 1, 2,…, 64. В битве всегда побеждает персонаж с большим уровнем, а если уровни одинаковы, может победить любой. После каждого тура уровень персонажа может измениться на 1 в ту или иную сторону, а может остаться прежним. Персонаж с каким наименьшим стартовым уровнем мог победить в турнире?

Задание 8.3. В турнире онлайн-игры участвуют 512 персонажей. В каждом из 9 раундов персонажи разбиваются на пары, сражаются между собой, победитель проходит дальше. Изначально уровни персонажей были равны 1, 2, …, 512. В битве всегда побеждает персонаж с большим уровнем, а если уровни одинаковы, может победить любой. После каждого тура уровень персонажа может измениться на 1 в ту или иную сторону, а может остаться прежним. Персонаж с каким наименьшим стартовым уровнем мог победить в турнире?

Задание 8.4. В турнире онлайн-игры участвуют 128 персонажей. В каждом из 7 раундов персонажи разбиваются на пары, сражаются между собой, победитель проходит дальше. Изначально уровни персонажей были равны 1, 2, …, 128. В битве всегда побеждает персонаж с большим уровнем, а если уровни одинаковы, может победить любой. После каждого тура уровень персонажа может измениться на 1 в ту или иную сторону, а может остаться прежним. Персонаж с каким наименьшим стартовым уровнем мог победить в турнире?

Задание 1. Есть 90 литров смеси, в которой доли красной, зелёной и синей красок равняются 35%, 25% и 40% соответственно. Сколько литров красной и зелёной краски нужно добавить, чтобы получилась смесь с 40% красной, 30% зелёной и 30% синей красок? Синюю краску добавлять нельзя.

Задание 1.2. Есть 70 литров смеси, в которой доли красной, зелёной и синей красок равняются 20%, 35% и 45 % соответственно. Сколько литров красной и зелёной краски нужно добавить, чтобы получилась смесь с 25% красной, 40% зелёной и 35% синей красок? Синюю краску добавлять нельзя.

Задание 1.3. Есть 90 литров смеси, в которой доли красной, зелёной и синей красок равняются 25%, 20% и 55 % соответственно. Сколько литров красной и зелёной краски нужно добавить, чтобы получилась смесь с 30% красной, 25% зелёной и 45% синей красок? Синюю краску добавлять нельзя.

Задание 1.4. Есть 30 литров смеси, в которой доли красной, зелёной и синей красок равняются 35%, 40% и 25% соответственно. Сколько литров красной и зелёной краски нужно добавить, чтобы получилась смесь с 40% красной, 45% зелёной и 15% синей красок? Синюю краску добавлять нельзя.

Задание 2. В таблице 6 х 6 отметили несколько клеток. После этого слева от каждой строки написали, сколько клеток от левой границы до первой отмеченной клетки в этой строке свободны. Аналогичные числа записали сверху, справа и снизу. После этого числа сверху, а также отметки в клетках стёрли. Найдите количество отмеченных клеток. Восстановите числа, которые были записаны сверху.

Задание 3. Два равносторонних треугольника C параллельными сторонами расположены так, как показано на рисунке. Оказалось, что расстояния между параллельными сторонами треугольников равны 3 корень из 3. Найдите разность периметров этих треугольников.

Задание 4. Числа 3, 6, 11, 16, 23 и 31 разбили на три группы по два числа так, что выполняются следующие условия: в первой группе оказались только простые числа, во второй группе сумма чисел делится на 3, сумма чисел в третьей группе больше половины от общей суммы. Какие числа в какой группе?

Задание 4.2. Числа 2, 6, 11, 15, 23 и 31 разбили на три группы по два числа так, что выполняются следующие условия: в первой группе оказались только простые числа, во второй группе сумма чисел делится на 3, сумма чисел в третьей группе больше половины от общей суммы. Какие числа в какой группе?

Задание 4.3. Числа 3, 8, 11, 17, 22 и 31 разбили на три группы по два числа так, что выполняются следующие условия: в первой группе оказались только простые числа, во второй группе сумма чисел делится на 3, сумма чисел в третьей группе больше половины от общей суммы. Какие числа в какой группе?

Задание 5. Дан треугольник АВС с прямым углом С. Окружность с центром в А, проходящая через С, пересекает гипотенузу в точке Е, а окружность с центром в В, проходящая через С, пересекает гипотенузу в точке Д. Найдите ED, если AD = 15, BE = 30.

Задание 5.2. Дан треугольник АВС с прямым углом С. Окружность с центром в А, проходящая через С, пересекает гипотенузу в точке Е, а окружность с центром в В, проходящая через С, пересекает гипотенузу в точке Д. Найдите ED, если AD = 12, BE = 54.

Задание 5.3. Дан треугольник АВС с прямым углом С. Окружность с центром в А, проходящая через С, пересекает гипотенузу в точке Е, а окружность с центром в В, проходящая через С, пересекает гипотенузу в точке Д. Найдите ED, если AD = 16, BE = 50.

Задание 5.4. Дан треугольник АВС с прямым углом С. Окружность с центром в А, проходящая через С, пересекает гипотенузу в точке Е, а окружность с центром в В, проходящая через С, пересекает гипотенузу в точке Д. Найдите ED, если AD = 14, BE = 112.

Задание 6. В квадрате 5 х 5 расставили натуральные числа от 1 до 25, каждое по одному разу, так, что суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух диагоналей совпали. Оказалось, что в центре стоит число 18. Чему может быть равна сумма чисел в отмеченных клетках?

Задание 6.2. В квадрате 5 х 5 расставили натуральные числа от 1 до 25, каждое по одному разу, так, что суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух диагоналей совпали. Оказалось, что в центре стоит число 17. Чему может быть равна сумма чисел в отмеченных клетках?

Задание 6.3. В квадрате 5 х 5 расставили натуральные числа от 1 до 25, каждое по одному разу, так, что суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух диагоналей совпали. Оказалось, что в центре стоит число 8. Чему может быть равна сумма чисел в отмеченных клетках?

Задание 6.4. В квадрате 5 х 5 расставили натуральные числа от 1 до 25, каждое по одному разу, так, что суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух диагоналей совпали. Оказалось, что в центре стоит число 9. Чему может быть равна сумма чисел в отмеченных клетках?

Задание 7. Натуральные числа а, в таковы, что число 9a+10b/a+2b тоже натуральное. Чему может быть a+2b a равно отношение a\b? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте b в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Задание 8. На квалификационное соревнование, по результатам которого отбираются участники на областной чемпионат, подали заявки 80 команд. Отбор происходит по следующей схеме. У каждой команды есть некоторый счёт побед и поражений (изначально 0-0). В каждом матче принимают участие две команды с одинаковым текущим счётом, и одна из них побеждает, а другая проигрывает (ничьих не бывает). Если команда набирает 3 поражения, она выбывает из отбора. Если команда набирает 3 победы, она выходит в основную часть тоже прекращает участие в квалификационном соревновании. Турнир оканчивается, И когда судьба каждой команды будет определена. Сколько команд попадёт на областной чемпионат? Сколько будет сыграно матчей?

Задание 8.2. На квалификационное соревнование, по результатам которого отбираются участники на областной чемпионат, подали заявки 112 команд. Отбор происходит по следующей схеме. У каждой команды есть некоторый счёт побед и поражений (изначально 0-0). В каждом матче принимают участие две команды с одинаковым текущим счётом, и одна из них побеждает, а другая проигрывает (ничьих не бывает). Если команда набирает 3 поражения, она выбывает из отбора. Если команда набирает 3 победы, она выходит в основную часть И тоже прекращает участие в квалификационном соревновании. Турнир оканчивается, когда судьба каждой команды будет определена. Сколько команд попадёт на областной чемпионат? Сколько будет сыграно матчей?

Задание 8.3. На квалификационное соревнование, по результатам которого отбираются участники областной чемпионат, подали заявки 96 команд. Отбор происходит по следующей схеме. У каждой команды есть некоторый счёт побед и поражений (изначально 0-0). В каждом матче принимают участие две команды с одинаковым текущим счётом, и одна из них побеждает, а другая проигрывает (ничьих не бывает). Если команда набирает 3 поражения, она выбывает из отбора. Если команда набирает 3 победы, она выходит в основную часть тоже прекращает участие в квалификационном соревновании. Турнир оканчивается, когда судьба каждой команды будет определена. И Сколько команд попадёт на областной чемпионат? Сколько будет сыграно матчей?

Задание 8.4. На квалификационное соревнование, по результатам которого отбираются участники на областной чемпионат, подали заявки 128 команд. Отбор происходит по следующей схеме. У каждой команды есть некоторый счёт побед и поражений (изначально 0-0). В каждом матче принимают участие две команды с одинаковым текущим счётом, и одна из них побеждает, а другая проигрывает (ничьих не бывает). Если команда набирает 3 поражения, она выбывает из отбора. Если команда набирает 3 победы, она выходит в основную часть и тоже прекращает участие в квалификационном соревновании. Турнир оканчивается, когда судьба каждой команды будет определена. Сколько команд попадёт на областной чемпи