Муниципальный этап ВсОШ по Математике 77 регион 7 и 8 класс (03.12.2025)

Задание 1. В Матемляндии есть разные монеты: вамбики, кабодики и джамбики. Пять вамбиков равны четырём кабодикам, а десять кабодиков — двум джамбикам.

Сколько джамбиков равны 225 вамбикам?

→ Получить ответы

Задание 2. Петя на клетчатой плоскости нарисовал по клеткам два прямоугольника. У одного из них стороны равны 4 и 13, а у другого стороны равны 6 и 11. Оказалось, что площадь их пересечения равна 20. Чему может быть равен периметр их объединения? Укажите все возможные варианты ответа.

→ Получить ответы

Задание 3. Петя взял все натуральные числа от 1 до 4045, возвел их в квадрат и для каждого квадрата написал на доске его последнюю цифру. Чему равна сумма чисел на доске?

→ Получить ответы

Задание 4. У Алексея, Бориса, Вити, Гены и Димы есть суммарно 300 монет. Они сделали следующие утверждения:

Алексей: «Количество монет у меня хотя бы столько же, сколько и суммарно у остальных».

Борис: «Количество монет у меня хотя бы половина от суммарного количества монет у остальных».

Витя: «Количество монет у меня хотя бы треть от суммарного количества монет у остальных».

Гена: «Количество монет у меня хотя бы четверть от суммарного количества монет у остальных».

Дима: «Количество монет у меня хотя бы одна пятая от суммарного количества монет у остальных».

Известно, что один из них соврал, а остальные сказали правду.

Кто из них соврал?

Какое наибольшее количество монет может быть у совравшего на самом деле?

→ Получить ответы

Задание 5. Найдите количество путей длины 10 из A в B по сторонам нарисованных клеток, если каждая клетка является квадратом со стороной 1.

→ Получить ответы

Задание 6. Двадцать прямых, никакие две из которых не параллельны, пересекаются в N точках. В одной из точек пересекается сразу десять прямых, еще в одной — пять, а во всех остальных только по две прямые. Чему может быть равно N? Укажите все возможные варианты ответа.

→ Получить ответы

Задание 7. В ряд выписали дроби 1/1,1/2,1/3,…,1/1000. Затем все эти дроби привели к общему знаменателю.

У скольких из получившихся дробей числитель не делится на 77²?

→ Получить ответы

Задание 8. Царство гномов состоит из 20 кланов по 120 гномов. Каждый гном входит только в один клан.

Гном считается высоким, если найдется хотя бы 10 кланов, не включая его собственный, средний рост в каждом из которых меньше, чем рост этого гнома. Какое наибольшее количество высоких гномов может быть?

Задание 1. На шоссе в указанном порядке расположены 5 городов: A, B, C, D, E. Для каждого из них посчитали суммарное расстояние до всех остальных городов, получились числа на картинке.

Чему равно расстояние между городами A и E?

Чему равно расстояние между городами A и B?

→ Получить ответы

Задание 2. На доске написано 432104. За одно действие разрешается либо поменять местами две соседние цифры в этой записи, либо заменить число, образованное двумя соседними цифрами, на число на 9 меньше, если оно неотрицательное. При этом в записи могут появиться нули в начале.

Так, например, если бы на доске было написано число 2025, за первый ход можно было бы получить записи 0225, 2205, 2052, 1125, 2016.

Запись какого наименьшего числа можно получить (возможно, с нулями в начале)?

Запись какого наибольшего числа можно получить (возможно, с нулями в начале)?

→ Получить ответы

Задание 3. В треугольнике ABC отметили точки D и E — середины AB и BC соответственно. Найдите угол между прямыми, содержащими биссектрисы углов CAB и BED, если ∠ABC=74∘. Ответ укажите в градусах
.
→ Получить ответы

Задание 4. Дед Мороз раздал подарки 21 ребёнку. Во всех подарках различное ненулевое количество конфет, а любые одиннадцать ребят получили больше конфет, чем оставшиеся десять. Какое наименьшее количество конфет мог раздать Дед Мороз?

→ Получить ответы

Задание 5. Целые числа a, b, c таковы, что a2+b2c2+c2=2c(ab+1) и a+b+c=2000. Чему может быть равно b? Укажите все возможные варианты ответа.

→ Получить ответы

Задание 6. Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. На его стороне AB отметили точку X так, что угол ∠ABC=4∠ACX. Точка M — середина стороны AC. Найдите длину отрезка BXBX, если известно, что BC=55, BM=39.

→ Получить ответы

Задание 7. Правильный треугольник разбит на девять треугольных клеток, в которых расставлены числа, как на рисунке. За один ход можно выбрать одну из вершин сетки и увеличить числа во всех клетках с этой вершиной на 1. Леша хочет сделать несколько ходов так, чтобы все числа оказались равны.

Какое число должно быть записано вместо знака вопроса, чтобы он смог этого добиться?

Какое наименьшее количество ходов ему понадобится?

→ Получить ответы

Задание 8. Карточки с натуральными числами от 1 до 20 разбили на 2 группы по 10 карточек. Назовём пару чисел n<m хорошей, если карточка с числом n лежит в первой группе, а с числом m — во второй. Оказалось, что хороших пар ровно 39. Чему может быть равна сумма чисел на карточках в первой группе? Укажите все возможные варианты ответа.